Dimostrazione di P = NP senza dichiarazioni matematiche / programma per computer


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Questo è il mio primo post dopo essere stato un utente passivo per un po 'di tempo ormai. Vorrei fare alcune domande se posso. Non sono un matematico, ma la mia domanda riguarda il campo della matematica / informatica. In particolare, il problema P vs NP. Sono consapevole che questo è un problema che i professionisti dell'élite non sono ancora stati in grado di risolvere ...

Indipendentemente da ciò, vorrei chiedere:

Se una persona che non è né un matematico né un programmatore dovesse elaborare un diagramma di flusso o una serie di passaggi scritti in inglese di base che presumibilmente forniscono una soluzione a uno dei problemi P vs NP, verrebbero considerati come "prove" che P = NP .. per richiedere il premio Clays Institute :)? Oppure è indispensabile scrivere una soluzione come prova matematica / programma per computer?

Grazie.


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Guarda questa collezione: win.tue.nl/~gwoegi/P-versus-NP.htm . Non vuoi diventare uno di loro.
Yuval Filmus,

esiste un possibile precedente "debole" per questo. Godels e la diagonalizzazione potrebbero essere stati vagamente basati sul paradosso di Richard, che era opera letteraria. ma nota, ci sono voluti matematici estremamente avanzati per convertirlo in legittime dichiarazioni / proprietà matematiche.
vzn

@vzn: la stessa pagina Wikipedia a cui colleghi le date di Richard's Paradox al 1905; la diagonalizzazione risale al 1891. Quindi il paradosso di Richard è probabilmente basato sulla diagonalizzazione, non viceversa.
Niel de Beaudrap,

@NieldeBeaudrap, vzn: i tuoi commenti si stavano trasformando in una conversazione, quindi li ho spostati in chat , per favore continua lì.
Gilles 'SO- smetti di essere malvagio' il

Risposte:


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"No", puoi usare "inglese di base".

Se ci riuscissi, avresti creato una prova costruttiva . Le prove in matematica sono spesso un mix di "inglese di base" come lo chiami tu e formule matematiche, ma non devono contenere neppure una prova valida.

Supponiamo di avere un diagramma di flusso del genere, ciò di cui hai bisogno per dimostrare - cioè argomentare - è che il tuo algoritmo funziona per ogni istanza del problema. Il modo in cui lo fai dipende interamente da te, purché la prova sia inequivocabile e tutte le premesse che asserisci hanno dimostrato di essere vere.

Fatto ciò, hai una prova matematica nelle tue mani. Quindi, davvero, avrei dovuto dire " " all'inizio, hai bisogno di una prova matematica .


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Non diamo a nessuno false speranze qui. È estremamente improbabile che un laico possa risolvere vs. N P , o che la soluzione possa essere espressa in "inglese ordinario". Ci sono cose migliori da fare per un laico che cercare di risolvere i problemi matematici più difficili. PNP
Andrej Bauer,

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@AndrejBauer Certo, non intendevo implicare che è probabile. Presumo che ti sarebbe piaciuta una risposta simile a quella di Niel . Ma mentre mette bene le cose in prospettiva, in realtà non affronta la domanda che è stata posta.
phant0m

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So che non intendevi implicare niente del genere. Volevo solo mettere un avvertimento esplicito, per timore che un giornalista o qualcuno lo leggesse e pensasse che vs. N P fosse risolto da un critico letterario. PNP
Andrej Bauer,

@ phant0m: sono curioso. Il mio primo paragrafo non affronta la vera domanda?
Niel de Beaudrap,

@NieldeBeaudrap Certo, lo affronta, ma sembra che la conclusione debba essere dedotta. Sidenote: si potrebbe anche interpretare la "Indeed"frase come una spiegazione di una prova in parole, ma in sé non sarebbe una prova. Inoltre, una macchina turing in sé non è una prova, a meno che non venga fornita una prova di correttezza. Inoltre, implica che presentare una TM su un diagramma di flusso è intrinsecamente superiore come "prova", anche quando non lo è.
phant0m

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Una macchina di Turing, va ricordato, è una specie di diagramma di flusso. Così è la struttura di un programma per computer in generale. Quindi trasformare "un diagramma di flusso" in una risposta formale al problema dovrebbe essere abbastanza semplice, se effettivamente funzionasse. In effetti, se si iniziasse con una risposta terribilmente formale a P contro NP , la maggior parte degli scienziati informatici proverebbe a trovarne una formulazione che si avvicina il più possibile a una semplice descrizione inglese per ottenere una comprensione della soluzione tanto forte quanto possibile.

Ma c'è un problema fondamentale con il tipo di domanda che stai ponendo. Che cosa significa per qualcuno che sarebbe in grado di risolvere P contro NP - e dimostrando che sono uguali, non meno - non essere effettivamente un informatico o un matematico? Forse non sono impiegati professionalmente come informatici o matematici, ma questo non ha senso se hanno l'abilità di risolvere quello che alcuni (Scott Aaronson, per esempio) descrivono come il problema matematico più importante che abbiamo mai considerato. Se qualcuno ha la formazione (o ha anche autodidatta) per affrontare con successo il problema e anche per comunicare chiaramente la soluzione agli altriidentificando le principali routine secondarie e i loro ruoli nel risolvere, ad esempio, SAT o HAMPATH, quindi se sono impiegati o hanno una laurea è un dettaglio irrilevante; sono comunque in quel caso un matematico o uno scienziato informatico. Meglio ancora se sono in grado di descrivere come le loro soluzioni superano ostacoli classici come i risultati degli oracoli, come gli oracoli A per i quali P ANP A (o il contrario), mostrando in particolare quale tipo di struttura nel problema sfrutta l'algoritmo, che non sarebbe accessibile nel modello di Oracle. Il problema, tuttavia, è che la maggior parte delle persone che sogna di risolvere P contro NP come dilettanti o outsidersembra che non abbiano le capacità comunicative per descrivere effettivamente il loro lavoro in modo adeguato o (in virtù del fatto di non aver letto abbastanza) non sono consapevoli dei risultati che renderebbero il loro approccio alla soluzione del problema condannato sin dall'inizio.

Come in tutti i sogni di gloria in questi giorni, c'è un problema di base con la fantasia di essere quello che risolve P contro NP . Il problema è che è quasi impossibile. Non proprio impossibile, intendiamoci, o almeno non necessariamente impossibile; proprio così. Come qualcuno brillante di ambizione, è possibile che si perda di vista il fatto che ci sono molte altre persone brillanti: molte delle quali hanno anche pensato al problema; e molti dei quali sono più luminosi di se stessi, anche di un paio di ordini di grandezza. E che ci sono state persone così brillanti per tutto il tempo in cui il problema è stato risolto; eppure rimane irrisolto. Sì, in linea di principio è possibile che tutti ci stiano pensando nel modo sbagliato, e lo sono da decenni. Ma è quellodavvero particolarmente probabile? Nessuno dovrebbe aspettarsi di essere l'unica persona in grado di individuare l'unico errore di segno che tutti commettono, perché se tutti gli altri commettono quell'errore, allora ci deve essere qualcosa sul problema che porterà a fare lo stesso errore. O - nel caso più probabile che il motivo per cui il problema rimane irrisolto è nonche le persone continuano a commettere semplici errori o non hanno ancora pensato all'unico trucco che dissolve il tutto - ciò che rende il problema fondamentalmente difficile è essenzialmente una difficoltà oggettiva del problema, e nessun passo di danza intelligente permetterà di valere semplicemente con grazia superare tutti gli ostacoli; che ciò che è richiesto è un approccio che non sia semplicemente nuovo, ma piuttosto profondo, identificando strutture sottili che non c'erano ragioni valide per cui nessuno avesse mai visto prima. Il tipo di struttura che è più probabile individuare individuando continuamente il problema per anni.

Se vuoi essere realistico su cosa ci vorrebbe per risolvere il problema P contro NP , potresti confrontarlo con scoperte analogamente famose degli ultimi decenni, come le prove del teorema a quattro colori, l'ultimo teorema di Fermat o il Congettura di Poincaré. Un giorno potrebbero avere prove più semplici, ma le prove originali ti portano lontano nel deserto per arrivare alla fine (o nel caso del teorema dei quattro colori, il percorso è molto lungo e ripetitivo). Non vi è alcun motivo particolare per sospettare che P contro NP sarà diverso; così se alla fine lo èrisolto da un dilettante, le possibilità sono estremamente forti che lo sarebbe da qualcuno con una conoscenza e una consapevolezza simili delle tecniche di qualcuno che è accademicamente addestrato. Qualsiasi dilettante realistico che sogna di risolvere P contro NP farebbe bene a tenerlo presente.


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Mentre tutto ciò che dici è vero, temo che questa mentalità (che è diventata prevalente sul campo, forse come meccanismo protettivo) possa scoraggiare l'unico genio autodidatta che potrebbe risolvere il problema oggi. Penso che un messaggio più utile sia: vai e ottieni tutta la formazione di cui hai bisogno per convincere anche un professionista, prima di leggere il tuo lavoro e poi della sua validità. Potrebbero volerci anni, ma questa è la strada da percorrere.
Raffaello

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@Raphael: Penso che in effetti la mia mentalità sia perfettamente adattata anche alla possibilità di un genio autodidatta. Il mio messaggio al genio autodidatta è questo: da un lato, non essere un accademico non significa che non sei un matematico --- e che giudicherei una risposta in base alla sua qualità. Quindi spetta a quel genio autodidatta assicurarsi che la risposta abbia qualità e diffidare delle insidie ​​a cui i dilettanti spesso cadono in preda.
Niel de Beaudrap,

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Temo che questa mentalità ... possa scoraggiare l'unico genio autodidatta che potrebbe risolvere il problema oggi. - Buona. Il tuo genio autodidatta dovrebbe ricordare che la barra è estremamente alta e che dozzine (centinaia?) Di altri geni autodidatti hanno tentato e non sono riusciti a raggiungerlo.
JeffE,

"L'ultimo teorema di Fermat o la congettura di Poincaré. Un giorno potrebbero avere prove più semplici, ma le prove originali ti porteranno lontano nel deserto per arrivare alla fine (o nel caso del teorema dei quattro colori, il percorso è molto lungo e ripetitivo)". questa è un'aspettativa ragionevole / ragionevole da parte di alcuni, ma d'altra parte, a differenza di curiosità teoriche arbitrarie come FLT e 4CT, un caso può essere reso una prova P vs NP potrebbe produrre strumenti (fondamentali) per altre separazioni di classe di complessità e teoria della complessità in generale , o potrebbe anche essere una pietra di Rosetta o anello mancante per l'avanzamento più tardi ..
VZN

@vzn: Non sono davvero sicuro di cosa stai ottenendo con questa distinzione. Solo perché P contro NP è importante, non è più probabile che esista trovare una soluzione semplice che potrebbe essere trovata da un dilettante intelligente ma non iniziato.
Niel de Beaudrap,

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Una prova che P = NP potrebbe essere accettato da un diario matematico, ma non sarà mai accettato dai professionisti dell'élite. Il motivo è che sanno che P! = NP (almeno per tutti gli scopi pratici). Sanno anche che è incredibilmente difficile dimostrarlo, quindi anche una prova che P! = NP verrà ricevuto con una buona dose di scetticismo dai professionisti dell'élite.

I professionisti dell'élite hanno ragioni più elaborate di quante molte menti brillanti hanno provato e non sono riuscite a costruire un algoritmo polinomiale per NP o dimostrare N! = NP. Tuttavia, si aspettano ragionevolmente che questo argomento debba essere il più convincente per un laico. Probabilmente hanno ragione nel ritenere che il riferimento a barriere relative a prove relativizzanti, prove naturali o prove algebrizzanti sia raramente convincente per un non esperto. Se troppi "dilettanti" provano a risolvere P vs NP in un certo modo (ad esempio mediante risoluzione logica o riducendolo a un problema di programmazione lineare), allora qualcuno soffrirà (questo richiede talvolta anni) per dimostrare che questo specifico angolo di attacco è probabilmente destinato a fallire.

Modifica Sono lieto che questa risposta continui ad attrarre feedback (negativi). Consentitemi quindi di sostituire la seconda parte della risposta (che sembra non correlata al feedback, ma che può distrarre dal punto principale) con la seguente citazione da Truth vs Proof :

Potremmo rimanere agnostici, dicendo che semplicemente non lo sappiamo, ma può esserci qualcosa di troppo scetticismo nella scienza. Ad esempio, Scott Aaronson una volta affermò che in altre scienze P! = NP sarebbe stato ormai dichiarato una legge della natura. Tendo ad essere d'accordo. Dopotutto, stiamo cercando di scoprire la verità sulla natura del calcolo e questa ricerca non andrà più veloce se insistiamo a scartare tutte le prove che non sono sotto forma di prove matematiche dai primi principi.

Questa modifica non ha lo scopo di ridurre la quantità di feedback, ma di chiarire perfettamente che questa risposta è seria sul fatto che gli esperti "sanno che P! = NP", anche se non possono provarlo.


23 nov 2013 Grazie ancora per tutto il feedback. Per la cronaca, la risposta ora ha 7 voti negativi, 1 voto positivo e 14 commenti (8 da me). A causa della quantità di commenti, riferimenti interessanti e giustificazioni fornite nei commenti sono nascosti, quindi ho deciso di aggiungerne alcuni qui:

  • Come lo stesso Gödel scrisse a von Neumann, se P = NP fosse vero "per tutti gli scopi pratici", allora il suo teorema di incompletezza sarebbe vero solo in teoria, ma effettivamente falso in pratica.

  • Nel suo articolo del 1971, Stephen Cook ... incapace di produrre controesempi per la procedura di Davis-Putnam (risolta da Haken 1985). Oggi, sono disponibili molte tecniche, risultati e controesempi per "smentire" propositi risolutori NP efficienti. Anche P = NP contraddice la "legge di conservazione della difficoltà", la corrispondenza "qualitativa infinita <-> quantitativa finanziaria", ...

  • Molto tempo fa, Scott Aaronson ha scritto questo commento :

    anonimo: affermi (come fatto!) che 3SAT è una lingua in NP che non può essere calcolata in tempo polinomiale. Ma non puoi provarlo. È questo il tuo metodo scientifico? Sì. Come convinto sostenitore della scienza e della ragione, mi sforzo di distinguere chiaramente tra ciò che posso provare e ciò che so solo è vero.

  • Scott è famoso per aver provato a dimostrare che cosa "sa" qualcosa, ad esempio scommettendo $ 200.000: scottaaronson.com/blog/?p=458


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Nessuno "sa" che P! = NP. Gli esperti possono crederci fermamente, ma nessun esperto lo sa (a meno che qualcuno non abbia una prova e la conservi per sé). È possibile, sebbene improbabile, che P = NP sia vero. Come nota a margine, tutti (specialmente gli scienziati) dovrebbero essere aperti a tutto, salvo prova contraria. In questo caso ogni scienziato, per quanto grande sia la sua convinzione che P! = NP, dovrebbe accettare che esiste la possibilità che P = NP abbia.
George

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In matematica, il problema di ignorare le prove e procedere ciecamente in avanti è che puoi assumere qualcosa che non va. Questo sarà rendere la ricerca andare molto più lento. Le scienze fisiche non hanno questo problema (ad eccezione di casi come la gravità quantistica / teoria delle stringhe) perché devono concordare con l'esperimento.
Peter Shor,

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@ThomasKlimpel: ricordo di aver postato quel commento, ma non dove. Dato che chiunque stavo rispondendo (tu?) Lo utilizzava semplicemente come un'autorità per discutere della correttezza del platonismo matematico, mentre dopo una certa considerazione sono arrivato a una posizione formalista, il semplice fatto che Godel avesse un'opinione diversa senza ulteriori l'elaborazione è davvero irrilevante. Gli argomenti tecnici non vengono vinti come le partite di tennis, con una rapida confutazione. Allo stesso modo, le risposte convincenti sono giudicate non solo dalla loro concisione (sebbene ciò aiuti) né dall'autorità, ma dal loro merito tecnico.
Niel de Beaudrap,

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