Esiste un duplice concetto di "Turing Complete" nella logica?

È possibile dimostrare che due modelli di calcolo sono completi se ciascuno può codificare un simulatore universale per l'altro. È possibile dimostrare che due logiche sono complete se una codifica delle regole di inferenza (e forse degli assiomi se presenti) di ciascuna viene mostrata come teorema dell'altra. Nella calcolabilità ciò ha portato a un'idea naturale della completezza di Turing e della tesi di Turing della Chiesa. Tuttavia, non ho visto dove le completezze logiche abbiano portato a un'idea indotta naturalmente di completezza totale di qualità simile.

Dato che la provvidibilità e la calcolabilità sono così strettamente correlate, quindi penso che non sia troppo da considerare che potrebbe esserci un concetto logico che è un duplice naturale rispetto alla completezza di Turing. Speculativamente, qualcosa del genere: esiste un teorema "vero" che non è dimostrabile in una logica se e solo se esiste una funzione calcolabile che non è descrivibile da un modello di calcolo. La mia domanda è: qualcuno ha studiato questo? Un riferimento o alcune parole chiave sarebbero utili.

Con "vero" e "calcolabile" nel paragrafo precedente mi riferisco alle idee intuitive ma in definitiva indefinibili. Ad esempio, qualcuno potrebbe dimostrare che la finezza delle sequenze di Goodstein è "vera" ma non dimostrabile nell'aritmetica di Peano senza definire completamente il concetto di "vero". Allo stesso modo, attraverso la diagonalizzazione si può dimostrare che ci sono funzioni calcolabili che non sono ricorsive primitive senza effettivamente definire completamente il concetto di calcolabile. Mi chiedevo, anche se alla fine tendono a essere concetti empirici, forse i concetti potrebbero essere collegati tra loro abbastanza bene da mettere in relazione i concetti di completezza.

Non sono sicuro del motivo per cui "vero" è in definitiva indefinibile, in quanto esiste una definizione precisa di cosa significhi che una formula del primo ordine sia vera .

Ciò che è unico nel caso della calcolabilità, è che per qualsiasi definizione (selvaggia come i tuoi sogni) per un "modello computazionale", puoi finalmente associarlo a un insieme di funzioni (le funzioni che può calcolare). Pertanto, puoi naturalmente confrontare diversi modelli e fissandone uno (basato su una giustificazione empirica come "è una buona rappresentazione del calcolo nel mondo reale") puoi chiamare qualsiasi altro modello completo se calcola esattamente lo stesso insieme di funzioni.

Tuttavia, come si confrontano le diverse logiche? Sembra che non ci siano proprietà naturali che puoi associare a una logica arbitraria e usarla per confrontarla con altri sistemi. Puoi forse correggere la logica, ad esempio la logica del predicato del primo ordine, e chiedere la completezza di un sistema assiomatico. Supponiamo di lavorare in ZFC e di credere che sia costituito dagli assiomi naturali che rappresentano il mondo. Ora, quando viene dato un diverso sistema assiomatico, puoi chiedere se hanno la stessa teoria e chiamare questo sistema completo nel caso in cui la risposta sia sì. Penso che la differenza rispetto al caso della calcolabilità sia che, per la calcolabilità, esiste un consenso più forte su quale dovrebbe essere il "modello base". La ragione di questo consenso è che molti modelli indipendenti di calcolo sono stati successivamente dimostrati equivalenti,