Algoritmo randomizzato per 3SAT

Esiste un algoritmo randomizzato molto semplice che, dato un 3SAT, produce un incarico che soddisfa almeno 7/8 delle clausole (in previsione): scegliere un incarico casuale. Un'assegnazione casuale soddisfa ogni clausola con probabilità 7/8, e quindi la linearità delle aspettative mostra che la frazione prevista di clausole soddisfatte da un'assegnazione casuale è 7/8.

Questo può essere fatto in modo deterministico? In tal caso, perché siamo interessati all'algoritmo randomizzato?

L'algoritmo di assegnazione casuale può essere derandomizzato (reso deterministico) utilizzando il metodo delle aspettative condizionali.

Consenti all'istanza 3SAT di essere composta da clausole . Durante l'algoritmo assegneremo i valori alle variabili. Il punteggio di una clausola è definito come segue:$C_1,\ldots,C_m$$C$

• Se è soddisfatto, il suo punteggio è 1.$C$
• Se non è soddisfatto e ha letterali non assegnati, il suo punteggio è .$C$$k$$1-2^{-k}$

Inizialmente il punteggio di ciascuna clausola è , quindi il punteggio totale è . Ora assegniamo i valori alle variabili in ordine. Supponiamo di aver assegnato valori alle variabili e che il punteggio totale attuale sia . Sia il punteggio totale se assegniamo i valori (rispettivamente) a . Dichiaro che per qualsiasi clausola , e quindi . Infatti:$1-2^{-3} = 7/8$$(7/8) m$$x_1,\ldots,x_n$$x_1,\ldots,x_{i-1}$$S = S(C_1)+\cdots+S(C_m)$$S_0,S_1$$0,1$$x_i$$S_0(C)+S_1(C) = 2S(C)$$C$$S_0 + S_1 = 2S$

• Se è soddisfatto (dato solo ) o non contiene allora .$C$$x_1,\ldots,x_{i-1}$$x_i$$S_0(C) + S_1(C) = 2S(C)$
• Supponiamo che contenga letterali non assegnati, incluso . Quindi , e . Pertanto $C$$k$$x_i$$S(C) = 1-2^{-k}$$S_0(C) = 1-2^{-(k-1)}$$S_1(C) = 1$ $$S_0(C) + S_1(C) = [1 - 2 \cdot 2^{-k}] + 1 = 2(1 - 2^{-k}) = 2S(C).$$
• Un argomento simile funziona quando contiene . $C$$\bar{x}_i$

Poiché , o (possibilmente entrambi). Quindi v'è una certa assegnazione di tale che dopo l'assegnazione, il nuovo punteggio è di almeno .$S_0 + S_1 = 2S$$S_0 \geq S$$S_1 \geq S$$S$$S$

Il punteggio iniziale è e l'algoritmo garantisce che il punteggio non diminuisca mai. Alla fine, il punteggio di una clausola è 1 se è soddisfatto e altrimenti. Quindi l'assegnazione finale soddisfa almeno clausole.$(7/8)m$$C$$1-2^{-0}=0$$(7/8)m$

Dato che esiste un algoritmo deterministico, perché siamo interessati a quello randomizzato? Ci sono diverse ragioni:

1. L'algoritmo randomizzato è molto più semplice.
2. L'algoritmo randomizzato è potenzialmente più veloce.
3. L'algoritmo randomizzato può essere convertito in deterministico usando il metodo delle aspettative condizionali; possiamo pensarlo come una ricetta per costruire un algoritmo deterministico.

Più in generale, si ipotizza che ogni algoritmo randomizzato polytime per un problema di decisione possa essere derandomizzato (questa è la ). Gli algoritmi randomizzati saranno comunque interessanti per tutti i motivi sopra elencati.$\mathsf{P}=\mathsf{BPP}$