Dimostrando che la diagnosi del grafico diretto è NP-difficile

Ho un compito a casa contro il quale mi sto scontrando da un po 'di tempo, e apprezzerei qualsiasi suggerimento. Si tratta di scegliere un problema noto, la cui completezza NP è dimostrata, e di costruire una riduzione da quel problema al seguente problema che chiamerò DGD (diagnosi diretta del grafico).

Problema

Un esempio di DGD consiste di vertici V = I . ∪ O . ∪ B , bordi diretti E e un intero positivo k . Ci sono tre tipi di vertici: vertici con soli archi entranti I , vertici con solo bordi uscita O e vertici sia in entrata e in uscita bordi B . Lasciate inoltre D = O × io .$(V,E,k)$$V = I \overset{.}{\cup} O \overset{.}{\cup} B$$E$$k$$I$$O$$B$$D=O\times I$

Ora, il problema è se possiamo coprire tutti i nodi con al massimo elementi di D , cioè$k$$D$

$\qquad \displaystyle \exists\,S\subseteq D, |S|\leq k.\ \forall\, v\in V.\ \exists\,(v_1,v_2) \in S.\ v_1 \to^* v \to^* v_2$

dove significa che esiste un percorso diretto da a a b .$a\to^* b$$a$$b$

Penso che il problema di Dominating Set sia quello da cui dovrei ridurre, perché anche questo è preoccupato di coprire un sottoinsieme di nodi con un altro sottoinsieme. Ho provato a creare un'istanza DGD creando prima due nodi per ciascun elemento dell'insieme dominante, copiando tutti i bordi e quindi impostando la dell'istanza DGD uguale a quella dell'istanza DS.$k$

Supponiamo una semplice istanza DS con nodi , 2 e 3 e bordi ( 1 , 2 ) e ( 1 , 3 ) . Questa è un'istanza yes con k = 1 ; l'insieme dominante in questo caso è costituito solo dal nodo 1 . Riducendo con il metodo appena descritto, ciò porterebbe a un'istanza DGD con due percorsi ( 1 → 2 → 1 ′ ) e ( 1 → 3 → 1 ′$1$$2$$3$$(1,2)$$(1,3)$$k = 1$$1$$(1 \to 2 \to 1')$$(1 \to 3 \to 1')$; per coprire tutti i nodi, sarebbe sufficiente una sola coppia . Ciò avrebbe funzionato perfettamente, se non fosse per il fatto che l'insieme dominante dell'istanza di DS non può, ovviamente, essere determinato in tempo polinomiale, che è un requisito qui.$(1, 1')$

Ho scoperto che ci sono molti modi belli di trasformare i bordi e i vertici durante la riduzione, ma il mio problema è in qualche modo esprimere la di DGD in termini di k di DS . Dominare Set sembrava un problema adeguato da ridurre, ma per questo penso che forse dovrei provare a ridurre da un problema che non ha tale k ?$k$$k$$k$

Ridurre invece da SET-COVER completo di NP .

$S_1,\dots,S_m \subseteq\{1,\dots,n\}$$k\in\mathbb{N}$$(V,E,k')$

• $V= \{s_1,\dots,s_m,o_1,\dots,o_m,e_1,\dots,e_n,o\}$
• $E= \{(s_i,o_i) \mid i = 1,\dots,n \} \cup \{(s_i,e_j)\mid j \in S_i\} \cup\{(e_j,o)\mid j=1,\dots,n\}$
• $k' = m + k$

$m$$(s_i,o_i)$$o_i$$k$$m$$(s_i,o)$$e_j$

$\leq_p$

$\{1,2,3,4,5\}$$S=\{\{1,2,3\},\{2,4\},\{3,4\},\{4,5\}\}$

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