Perché ?

Vorrei sapere se esiste una regola per dimostrarlo. Ad esempio, se uso la legge distributiva otterrò solo .$(A \lor A) \land (A \lor \neg B)$

Trovo che le immagini siano perfette per qualsiasi cosa abbastanza semplice da usarle, che è.

Ricorda:

E indica l'area occupata da entrambe le cose. Quindi quello di mezzo è quello che viene preso fuori da B, ma anche dentro A. La loro giunzione non viene contata perché è dentro A ma non fuori B.

OPPURE significa che è coperto da uno o entrambi. Entrambi coprono la parte di A che è al di fuori di B, e la giunzione è coperta da A (prima foto), quindi viene contata anche. Tutto sommato, hai di nuovo A.

Mi dispiace se questo è troppo semplicistico, non sono sicuro a che livello sei.

Ci sono molti modi per vederlo. Uno è un tavolo di verità. Un altro è usare la regola distributiva:

Vorrei usare la mia regola di inferenza meno preferita: Disjunction Elimination . Fondamentalmente, dice che se segue da P e R segue da Q , allora R deve essere vero se P ∨ Q : ( P → R ) , ( Q → R ) , ( P ∨ Q ) ⊢ $R$$P$$R$$Q$$R$$P \vee Q$

Quindi supponiamo che . Impostare P = A , Q = A ∧ ¬ B , R = A e applicare la regola:$A \lor (A \land \neg B)$$P = A$$Q = A \land \neg B$$R = A$

• Se ( = A ) abbiamo finito.$P$$= A$
• Se allora A (per eliminazione congiunta, S ∧ T ⊢ S )$Q = A \land \neg B$$A$$S \land T \vdash S$
• Con l'eliminazione disgiunzione .$A \lor (A \land \neg B) \to A$

L'inverso è banale: assumere , quindi con una delle varianti dell'introduzione congiunta ( S ⊢ S ∨ T per qualsiasi T ) A → A ∨ ( ⋯ ) .$A$$S \vdash S \lor T$$T$$A \to A \lor (\cdots)$

Ecco un diagramma di questa prova:

$C$$D$$C \lor D = D$$D$$C$$D$

$C = A \land \lnot B$$D = A$

Un aspetto più intuitivo:

Aè sempre vero quando Aè vero.

A & -Bè vero solo quando Aè vero.

Intuitivamente, applicare OR a questi due produrrebbe un risultato Cche è sempre vero quando Aè vero. Come tale, Cè sempre vero quando Aè vero.

(Smetti di leggere qui se questa spiegazione funziona per te.)

Ecco come penso a questo problema. Tuttavia, questa spiegazione non è completa poiché tutto ciò che abbiamo mostrato è quello A -> Ce non A <-> C.

Quindi, mostriamo anche quello C -> A.

Aè sempre falso quando Aè falso.

A & -Bè sempre falso quando Aè falso.

Intuitivamente, applicare OR a questi due produrrebbe un risultato Cche è sempre falso quando Aè falso. Come tale, Cè sempre falso quando Aè falso; -A -> -C, che è la stessa cosa di C -> A.

Così A -> Ce C -> Acosì A <-> C.

A volte, le persone sono confuse dalle lettere. Alla gente piace il cibo, perché è facile pensarci.

Fai finta che ti chieda di lanciare una moneta per scegliere tra l'una o l'altra delle seguenti due opzioni:

• Una Mela, O ...
• Una mela e sicuramente nessuna banana.

[Il primo è uguale a "A", il secondo "A e non B". Ma non pensare alle lettere. Pensa alla mela e al fatto che tu abbia anche una banana.]

Quella prima significa davvero "Una mela fersure, e forse otterrai una banana".

Quindi lasciare qualcosa fuori è come dire "forse".

Considerandoli come una coppia, qualunque cosa tu riceva, ci sarà sicuramente una Apple coinvolta. Sìì. E se il tuo coinflip sceglie quello giusto, potresti ottenere una banana.

Ma non è lo stesso che dire "forse otterrai una banana"? Solo, con metà probabilità?

Quindi tutto ciò che puoi sicuramente dire logicamente è che otterrai una Apple. Non puoi dire nulla sul fatto che otterrai una banana.

Simile alla risposta di Yuval Filmus. Utilizzo di algebra booleana, in ingegneria notaio e factoring (o fattorizzazione) fuori A.

$A+A\cdot\bar B=A\cdot(1+\bar B)=A\cdot1=A$

Sembra che nessuno lo abbia ancora menzionato, quindi andrò avanti.

La legge per affrontare questo tipo di problemi è la legge di assorbimento che afferma che pv (p ^ q) = p e anche che p ^ (pvq) = p. Se cerchi di usare la legge distributiva su questo, ti farà andare in cerchio per sempre:

(A v A) ^ (A v ~ B) = A ^ (A v ~ B) = (A ^ A) v (A ^ ~ B) = A v (A ^ ~ B) = (A v A) ^ (A v ~ B)

Ho usato il simbolo sbagliato per not ed uguale a ma il punto qui è che quando stai andando in cerchio / quando c'è un e-o disadattamento di solito dovresti guardare alla legge di assorbimento.

B è irrilevante per il risultato, come noterete se lo mettete in una tabella di verità.

Un altro modo intuitivo per vedere questo:

Se A è un insieme, allora possiamo dire che un dato oggetto è (in A) o (non in A).

Ora guarda S = A o (A e non B) :

• Se un oggetto è in A, allora "A o altro" contiene tutti gli elementi in A, quindi anche l'oggetto sarà in S.

• Se un oggetto non è in A, quindi "A e niente" esclude tutti gli elementi non in A, quindi l'oggetto non è né in A né in (A e non B), quindi non è in S.

Quindi il risultato è che qualsiasi oggetto in A è in S, e qualsiasi oggetto non in A non è in S. In modo intuitivo, gli oggetti in S devono essere esattamente quelli in A e nessun altro oggetto.

Quando due set hanno elementi identici, vengono definiti come lo stesso set. Così A = S.

Un metodo semplice che puoi sempre usare se sei bloccato è l'analisi del caso.

$A$

$A$

$A$

lets consider: 
  1) A as 1 and B as 0. 
  2) A as 0 and B as 1. 
  3) A as 1 and B as 1.
  4) A as 0 and B as 0.

using the first scenario : A or (A and !B) => 1 or ( 1 and 1) => 1 0r 1 => 1
using the second scenario: A or (A and !B) => 0 or ( 0 and 0) => 0 or 0 => 0
using the third scenario : A or (A and !B) => 1 or ( 1 and 0) => 1 or 0 => 1
using the fourth scenario: A or (A and !B) => 0 or ( 0 and 1) => 0 or 0 => 0

From the above four cases, the result always depends on A not on B, so the result is A.