Riduzione dei prodotti in HoTT alle codifiche church / scott

Quindi al momento sto andando al libro HoTT con alcune persone. Ho affermato che la maggior parte dei tipi induttivi che vedremo può essere ridotta a tipi contenenti solo tipi di funzioni e universi dipendenti prendendo il tipo di recuror come ispirazione per il tipo equivalente. Ho iniziato a delineare come pensavo che avrebbe funzionato e dopo un po 'di inciampare sono arrivato a quella che pensavo fosse una risposta.

\cdot \times \cdot \equiv \prod_{A, B, C : U} (A \to B \to C) \to C

$\cdot \times \cdot \equiv \prod_{A, B, C : \mathcal{U}} (A \to B \to C) \to C$

(\cdot, \cdot) \equiv λ a : A . λ b : B . λ C : U . λ g : A \to B \to C . g (a) (b)

$(\cdot, \cdot) \equiv \lambda a : A. \lambda b : B. \lambda C : \mathcal{U}. \lambda g : A \to B \to C. g(a)(b)$

i n d_{A \times B} \equiv λ C . λ g . λ p . g (p r_{1} (p)) (p r_{2} (p))

$ind_{A \times B} \equiv \lambda C. \lambda g. \lambda p. g(pr_1(p))(pr_2(p))$

Questo fornisce le equazioni di definizione corrette (le equazioni di definizione per e omesse) ma ciò significherebbe che avrebbero il tipo sbagliato. $pr_1$ $pr_2$ $ind_{A \times B}$

{ind}_{A \times B} : \prod_{C : A \times B \to U} (\prod_{a : A} \prod_{b : B} C ((a, b))) \to \prod_{p : A \times B} C ((p r_{1} (p), p r_{2} (p)))

$\text{ind}_{A \times B} : \prod_{C : A \times B \to \mathcal{U}} (\prod_{a:A} \prod_{b:B} C((a, b))) \to \prod_{p : A \times B} C((pr_1(p), pr_2(p)))$

E non sembra esserci una semplice soluzione a questo. Ho anche pensato alla seguente definizione.

i n d_{A \times B} \equiv λ C . λ g . λ p . p (C (p)) (g)

$ind_{A \times B} \equiv \lambda C. \lambda g. \lambda p. p(C(p))(g)$

Ma questo non fa il typecheck.

$uniq_{A \times B}$ $C((pr_1(p), pr_2(p)))$ $C(p)$ $uniq_{A \times B}$ $uniq_{A \times B}$

Quindi sembra che qui possiamo definire il ricorsore ma non l'induttore. Siamo in grado di definire qualcosa che è abbastanza vicino ad assomigliare all'induttore ma non ce la fa proprio. La ricorsione ci consente di eseguire la logica prendendo questo tipo come significato della congiunzione logica, ma non ci consente di provare cose sui prodotti che sembrano carenti.

Possiamo fare il tipo di riduzione che ho sostenuto possa essere fatta? Cioè, possiamo definire un tipo usando solo tipi di funzione e universi dipendenti che hanno una funzione di accoppiamento e un induttore con le stesse equazioni e tipi di definizione dei prodotti? È il mio crescente sospetto di aver fatto una falsa affermazione. Sembra che siamo in grado di avvicinarci in modo così frustrante, ma non ce la facciamo proprio. Se non riusciamo a definirlo quale tipo di argomento spiega perché non possiamo? I prodotti presentati nel libro HoTT aumentano la forza del sistema?

— Jake
fonte

Per quanto ho capito, la solita codifica della Chiesa ci dà un tipo che ammette l'eliminazione non dipendente (ricorsore), ma nessuna eliminazione dipendente (induttore). La tua domanda potrebbe essere correlata a questa . Non sono sicuro che HoTT cambi qualcosa al riguardo.

— chi,

Questo sembra utile. A quanto ho capito, alla mia domanda verrà data una risposta per il calcolo predittivo dei tipi di costruzioni (Coq meno (co) induttivi). Ho cercato documenti che vanno oltre questi modelli (modelli di CoC che non sono modelli di CiC) ma non riesco a trovarne. Per caso hai una fonte?

— Jake,

Purtroppo non ho un riferimento da condividere. Sarei anche interessato ad avere una fonte da citare per questo fatto folcloristico.

— Chi,

Continuo anche a trovare riferimenti folcloristici a questo fatto, ma non riesco a trovare una spiegazione.

— Jake,

Bella domanda, ma non si adatterebbe meglio su cstheory.stackexchange.com

— Martin Berger

Risposte:

Il riferimento standard che spesso do è che l' induzione non è derivabile nella teoria del tipo dipendente dal secondo ordine di Herman Geuvers, che afferma che non esiste alcun tipo

N : T y p e

$N : \mathrm{Type}$

Z : N S : N \to N

$Z:N\qquad S:N\rightarrow N$

tale che

i n d : Π P : N \to T y p e . P Z \to (Π m : N . P m \to P (S m)) \to Π n : N . P n

$\mathrm{ind}:\Pi P:N\rightarrow \mathrm{Type}.P\ Z\rightarrow (\Pi m:N.P\ m\rightarrow P\ (S\ m))\rightarrow \Pi n:N. P\ n$

è dimostrabile. Ciò suggerisce che in effetti una tale codifica non può funzionare per le coppie come descrivi.

Il sistema per cui è dimostrato è un sottoinsieme del Calcolo delle costruzioni, che contiene potenti tipi di prodotto e un universo. Sospetto che questo risultato possa essere esteso al sistema che ti interessa, a seconda di ciò che hai.

Purtroppo, non conosco la risposta completa alla tua domanda. Sospetto che l'aggiunta di determinati principi di parametricità "internamente" sia esattamente ciò che è necessario per far funzionare queste codifiche con il principio di induzione completa. Neel Krishnaswami, la cui conoscenza è un mio superset rigoroso, ha scritto un documento in questo senso con Derek Dreyer:

Interiorizzazione della parametricità relazionale nel calcolo estensivo delle costruzioni

Interessante anche il seguente articolo di Bernardy, Jansson e Patterson (Bernardy ha riflettuto a fondo su questi argomenti):

Parametricità e tipi dipendenti

Ovviamente la parametricità ha una forte relazione con HoTT in generale, ma non so quali siano i dettagli. Penso che Steve Awodey abbia preso in considerazione queste domande, poiché il trucco della codifica è utile in contesti in cui non sappiamo davvero come dovrebbero essere gli eliminatori.

— cody
fonte

Per far funzionare la tua idea hai bisogno di qualcosa in più, come è stato sottolineato nella risposta di @ cody. Sam Speight ha lavorato sotto la supervisione di Steve Awodey per vedere cosa si può ottenere in HoTT usando un universo impredicativo, vedere Encodings imprevedibili di tipi induttivi nel post sul blog HoTT .

— Andrej Bauer
fonte