Come dimostrare che la moltiplicazione matriciale di due matrici 2x2 non può essere effettuata in meno di 7 moltiplicazioni?

Nella moltiplicazione matrice di Strassen, affermiamo uno strano (almeno per me) fatto che la moltiplicazione matrice di due 2 x 2 richiede 7 moltiplicazioni.

Domanda: come dimostrare l'impossibilità di moltiplicare due matrici 2 x 2 in 6 moltiplicazioni?

Si noti che le matrici sono al di sopra dei numeri interi.

algorithms complexity-theory lower-bounds

— Complessità
fonte

Esistono altri algoritmi di moltiplicazione di matrici che possono essere più veloci. Questo articolo Web di una classe CME 323 di Stanford fornisce dettagli sull'algoritmo di Strassen, moltiplicazione di Matrix: algoritmo di Strassen . C'è un argomento di Wikipedia, l' algoritmo di Strassen che entra nei dettagli e ha collegamenti a informazioni aggiuntive.

— Richard Chambers,

@RichardChambers Notare che l'algoritmo di Strassen ha

moltiplicazioni. Mi sembra plausibile che questo limite inferiore sia vero.

7

$7$

— Stella Biderman,

Come indicato, questa domanda è sbagliata. Esistono molte matrici che possono essere moltiplicate per

moltiplicazioni. Intendi chiedere una prova che, nel peggiore dei casi, ci vogliono 7, ovvero esiste una matrice che richiede 7

6

$6$

— Stella Biderman,

@StellaBiderman sì, ho visto che Strassen ha 7 moltiplicazioni. Non ho guardato l'altro, più veloce e algoritmi con una complessità inferiore. Da quello che posso dire, usano lo stesso approccio a matrice secondaria di Strassen, ma non ne sono sicuro. Stavo solo aggiungendo alcune informazioni aggiuntive su Strassen in particolare.

— Richard Chambers,

Sembra che manchi qualcosa nella tua domanda. Posso facilmente dare un algoritmo che può moltiplicare almeno alcune matrici con 0 moltiplicazioni. Probabilmente c'è un vincolo che non stai menzionando.

— Jörg W Mittag,

Questo è un classico risultato di Winograd: sulla moltiplicazione di matrici 2x2 .

$n\times n$ $O(n^\alpha)$ $\langle n,n,n \rangle$ $n\times n$ $O(n^\alpha)$ $O(n^{\log_27})$ $R(\langle 2,2,2 \rangle) \leq 7$

$R(\langle 2,2,2 \rangle)=7$ $\langle 2,2,2 \rangle$

— Yuval Filmus
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Puoi trovare il risultato su:

S. Winograd, Sulla moltiplicazione di matrici 2 × 2 , Algebra lineare e Appl. 4 (1971), 381–388, MR0297115 (45: 6173).

— Stella Biderman
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