Perché la solidità implica coerenza?

Stavo leggendo la domanda Coerenza e completezza implicano solidità? e la prima affermazione in esso dice:

Capisco che la solidità implica coerenza.

Di cui ero piuttosto perplesso perché pensavo che la solidità fosse un'affermazione più debole della coerenza (cioè ho pensato che i sistemi coerenti dovevano essere sani ma immagino che non fosse vero). Stavo usando la definizione informale che Scott Aaronson stava usando nel suo corso 6.045 / 18.400 al MIT per coerenza e solidità:

1. Soundness = Un sistema di prova è valido se tutte le affermazioni che dimostra sono effettivamente vere (tutto ciò che è dimostrabile è True). cioè SE ( $\phi$ è dimostrabile)$\implies$( $\phi$ è vero). Quindi SE (c'è un percorso per una formula) POI (quella formula è vera)
2. Coerenza = un sistema coerente non dimostra mai A e NOT (A). Quindi solo una A o la sua negazione può essere vera.

Usando queste definizioni (forse informali) in mente ho costruito il seguente esempio per dimostrare che esiste un sistema che è solido ma non coerente:

Il motivo per cui ho pensato che fosse un sistema audio è perché, per ipotesi, gli assiomi sono veri. Quindi A e non A sono entrambi veri (sì, so che la legge del mezzo escluso non è inclusa). Poiché l'unica regola di inferenza è la negazione, otteniamo che possiamo raggiungere sia A che non A dagli assiomi e raggiungerci l'un l'altro. Pertanto, raggiungiamo solo le affermazioni Vere rispetto a questo sistema. Tuttavia, ovviamente il sistema non è coerente perché possiamo dimostrare la negazione dell'unica affermazione nel sistema. Pertanto, ho dimostrato che un sistema audio potrebbe non essere coerente. Perché questo esempio non è corretto? Che cosa ho fatto di sbagliato?

Nella mia testa questo ha un senso intuitivo perché la solidità dice solo che una volta che partiamo da e assioma e manovriamo le regole di inferenza raggiungiamo solo destinazioni (cioè affermazioni) che sono Vere. Tuttavia, non dice davvero quale destinazione arriviamo. Tuttavia, la coerenza afferma che possiamo raggiungere solo destinazioni che raggiungono o (entrambe non entrambe). Quindi, ogni sistema coerente deve includere la legge del mezzo escluso come un assioma, cosa che ovviamente non ho fatto e quindi ha incluso la negazione dell'unico assioma come unico altro assioma. Quindi non mi sembra di aver fatto qualcosa di troppo intelligente, ma in qualche modo qualcosa non va?¬ $A$$\neg A$

Mi rendo conto che potrebbe essere un problema perché sto usando la definizione informale di Scott. Anche prima di scrivere la domanda ho controllato Wikipedia, ma la loro definizione non aveva senso per me. In particolare la parte che dicono:

rispetto alla semantica del sistema

la loro citazione completa è:

ogni formula che può essere dimostrata nel sistema è logicamente valida rispetto alla semantica del sistema.

Consiglio di esaminare la logica formale oltre le descrizioni vaghe e ondulate. È interessante e molto rilevante per l'informatica. Sfortunatamente, la terminologia e il focus ristretto di libri di testo specifici sulla logica formale possono presentare un'immagine distorta di ciò che è la logica. Il problema è che il più delle volte quando i matematici parlano di "logica", significano (spesso implicitamente) la logica proposizionale classica o la logica classica del primo ordine. Sebbene questi siano sistemi logici estremamente importanti, non sono affatto vicini all'ampiezza della logica. Ad ogni modo, quello che sto per dire si svolge in gran parte in quel contesto ristretto, ma voglio chiarire che sta accadendo in un contesto particolare e non è necessario che sia vero al di fuori di esso.

Innanzitutto, se la coerenza è definita come non prova sia che , cosa succede se la nostra logica non ha nemmeno negazione o if¬ A $A$$\neg A$$\neg$significa qualcos'altro? Chiaramente, questa nozione di coerenza fa alcune ipotesi sul contesto logico all'interno del quale opera. In genere, questo è che stiamo lavorando nella logica proposizionale classica o in qualche sua estensione come la logica classica del primo ordine. Esistono molteplici presentazioni, ad esempio elenchi di assiomi e regole, che potrebbero essere chiamate logiche proposizionali classiche / di primo ordine ma, per i nostri scopi, che non contano davvero. Sono equivalenti in un certo senso. Tipicamente, quando parliamo di un sistema logico intendiamo una teoria (classica) del primo ordine. Questo inizia con le regole e gli assiomi (logici) della classica logica del primo ordine, a cui si aggiungono determinati simboli di funzione, simboli predicati e assiomi (chiamati assiomi non logici). Queste teorie del primo ordine sono di solito ciò che

Successivamente, la solidità di solito significa solidità rispetto a una semantica. La coerenza è una proprietà sintattica che ha a che fare con le prove formali che possiamo fare. La solidità è una proprietà semantica che ha a che fare con il modo in cui interpretiamo le formule, i simboli di funzione e i simboli predicati in oggetti e dichiarazioni matematiche. Per iniziare anche a parlare di solidità, devi dare una semantica, cioè un'interpretazione delle cose sopra menzionate. Ancora una volta, abbiamo una separazione tra i connettivi logici e gli assiomi logici e i simboli di funzione, i simboli predicati e gli assiomi non logici. Ciò che rende connettivi i connettivi e gli assiomi logici gli assiomi dal punto di vista semantico è che vengono trattati in modo speciale dalla semantica mentre i simboli di funzione, i simboli predicati e gli assiomi non logici non lo fanno.$[\![\varphi\land\psi]\!]=[\![\varphi]\!]\cap[\![\psi]\!]$ dove uso come interpretazione della formula . In particolare, Dove è il dominio impostato. L'idea è che una formula viene interpretata come l'insieme di (tuple di) elementi di dominio che soddisfano la formula. Una formula chiusa (ovvero una senza variabili libere) viene interpretata come una relazione nulla, vale a dire un sottoinsieme di un insieme di singleton che può essere solo quel singleton o l'insieme vuoto. Una formula chiusa è "vera" se non viene interpretata come l'insieme vuoto. La solidità è quindi l'affermazione che ogni formula dimostrabile (chiusa) è "vera" nel senso sopra.φ $[\![\varphi]\!]$$\varphi$$[\![\neg\varphi]\!]=D\setminus[\![\varphi]\!]$$D$

È facile da qui, anche dallo schizzo che ho dato, dimostrare che la solidità implica coerenza (nel contesto della logica classica del primo ordine e della semantica che ho disegnato). Se la tua logica è valido, quindi ogni formula dimostrabile viene interpretata come un insieme non vuoto, ma viene sempre interpretato come l'insieme vuoto, indipendentemente dalla formula , e quindi non può essere dimostrabile, cioè la tua logica è coerente.

La solidità e la coerenza sono proprietà dei sistemi deduttivi. La solidità può essere definita solo rispetto ad alcune semantiche che si presume siano date indipendentemente dal sistema deduttivo.

Nel regno della semantica le due proprietà sono correlate

Definizione 1 ( Soundness [Semantics] - preso in prestito da Wikipedia ) La solidità di un sistema deduttivo è la proprietà che qualsiasi frase dimostrabile in quel sistema deduttivo è anche vera su tutte le interpretazioni o strutture della teoria semantica per il linguaggio su cui quella teoria è basato.

Definizione 2 ( coerenza semantica [] ) Una serie di frasi nella lingua è consistente se e solo se esiste una struttura della lingua che soddisfa tutte le frasi in . Un sistema deduttivo è coerente se esiste una struttura che soddisfa tutte le formule dimostrabili in esso.L L$A$$\mathfrak{L}$$\mathfrak{L}$$A$

Con le due definizioni sopra riportate è chiaro che la solidità implica coerenza. Vale a dire se l'insieme di tutte le frasi dimostrabili è valido in tutte le strutture della lingua, allora esiste almeno una struttura che le soddisfa.

Il tuo sistema di prova non è né solido né coerente, poiché non è una proposizione vera a meno che , nel qual caso non è una proposizione vera. Questo argomento dimostra che anche ogni sistema di insonorizzazione è coerente.A ≡ ⊤ ¬ A ≡ $A$$A \equiv \top$$\lnot A \equiv \bot$

Spesso quando inventiamo sistemi logici, sono motivati ​​dal tentativo di descrivere un fenomeno preesistente. Ad esempio, l'aritmetica di Peano è un tentativo di assiomatizzare i numeri naturali insieme alle operazioni di addizione e moltiplicazione.

La solidità può essere definita solo in relazione al fenomeno che stai tentando di descrivere, e essenzialmente significa che i tuoi assiomi e le regole di inferenza descrivono davvero la cosa in questione. Quindi, ad esempio, l'aritmetica di Peano è valida perché i suoi assiomi e le regole di inferenza sono realmente vere per i numeri naturali.

Ciò, ovviamente, implica che tu abbia un concetto di "numeri naturali" al di là della definizione di Peano di essi, e qualche nozione di ciò che è vero o falso per i numeri naturali senza aver derivato queste verità da un particolare insieme di assiomi. Cercare di spiegare da dove provengono queste verità o come possono essere verificate può farti sbarcare in acque calde filosofiche. Ma se dai per scontato che ci sono numeri naturali e ci sono alcuni fatti reali su di loro, allora puoi vedere il progetto di assiomatizzazione come un semplice tentativo di trovare una concisa specifica formale da cui molti dei più importanti le verità possono essere derivate. Quindi un'assiomatizzazione è sana se tutto ciò che può effettivamente dimostrare è nella raccolta di verità predefinita, cioè

(Nota in particolare che le tue specifiche formali non dimostreranno tutto ciò che è vero sui numeri naturali, e inoltre non descriveranno in modo univoco i numeri naturali in quanto vi sono altre strutture, diverse dai numeri naturali, in cui gli assiomi di Peano sono anche vero.)

Nella logica del primo ordine, almeno, una teoria è coerente se ha qualche modello. La solidità significa che ha il modello specifico che volevi: la particolare struttura che stavi tentando di descrivere con la tua teoria è davvero un modello della tua teoria. Da questo punto di vista, è chiaro perché la solidità implica coerenza.

Come esempio di una teoria coerente ma non solida: l'aritmetica di Peano, PA, è in grado di codificare formule logiche come costruzioni aritmetiche, e in particolare è possibile codificare la frase "PA è coerente" ("non esiste alcuna prova di falsità da gli assiomi della PA "). Chiama questa frase Con (PA). Potresti anche essere consapevole che (dal momento che è solido, e quindi coerente) PA non può provare Con (PA), dal primo teorema di incompletezza di Gödel. Questo significa anche che la teoria PA +$\neg$Con (PA) non può dimostrare una contraddizione, quindi deve essere coerente. Ma non è sano: afferma che esiste un numero naturale che codifica una prova di falsità dagli assiomi di PA, ma non può esserci un tale numero nei numeri naturali "reali", poiché altrimenti saremmo in grado di estrarre una prova autentica dell'incoerenza della PA da essa.

PA + Con (PA) ha modelli, ma sono modelli che devono includere oggetti "extra", "numeri naturali non standard", incluso uno che sostiene codifica la "prova" in questione. La teoria semplicemente non è dotata degli strumenti necessari per distinguere questi elementi non standard dai membri autentici in buona fede di , o per dimostrare che la prova non è una prova legittima.$\neg$$\mathbb N$

In alternativa, puoi interpretarlo come: PA + Con (PA) è un sistema logico perfettamente legittimo - semplicemente non descrive accuratamente i numeri naturali e i numeri naturali non ne sono un modello.$\neg$

Ancora una cosa: non assumiamo che gli assiomi siano veri per definizione. Tutti gli assiomi sono per definizione solo i mattoni di base delle prove. Sono solo affermazioni: sono vere o false solo se applicate a particolari oggetti matematici. Puoi avere falsi assiomi, è solo piuttosto sciocco, perché il tuo sistema non sarà necessariamente e immediatamente valido.

Per avere una risposta concisa (e intuitiva), parafraserò quanto detto da Scott Aaronson nella sua lezione del 6.045 / 18.400 MIT. Ha detto qualcosa del genere:

La solidità significa che tutto ciò che è dimostrabile è vero. Poiché la coerenza significa che non ci sono contraddizioni e la solidità già coinvolta, il concetto di verità e verità deve essere coerente (vale a dire Vero! = Falso), quindi deve significare che anche i sistemi audio sono coerenti. Quindi la solidità implica coerenza perché le cose (veramente) vere non hanno contraddizioni.

Ora che rifletto mi rendo conto di avere alcune ipotesi / idee errate:

1. Non mi rendevo conto che la solidità riguardasse la semantica. Quindi, non sono riuscito a rendermi conto che il solo uso delle regole di inferenza dagli assiomi non è abbastanza per portare a vere conseguenze (e che non lo garantisce, che pensavo fosse impossibile raggiungere cose contraddittorie fintanto che siamo partiti dagli assiomi e usato regole di inferenza valide).
2. Pensavo che fintanto che gli assiomi fossero veri e le regole di inferenza avessero senso tutto ciò che procedeva sarebbe stato vero. Ciò che ora capisco potrebbe non essere vero dal momento che se avessimo un gigantesco elenco di assiomi e regole di inferenza è difficile ragionare se tutto ciò che segue sarà vero. vale a dire semplicemente partire da un assioma e usare una regola di inferenza valida non è sufficiente per garantire che il prossimo passo sia vero.
3. Il precedente è essenzialmente accoppiato al fatto che non mi rendevo conto che ci sono due livelli di complessità, 1) semantica 2) sintattica. Far girare il gioco dei simboli può portare a contraddizioni.
4. Non mi rendevo conto di non conoscere la corretta caratterizzazione della verità, che Derek ha fatto un ottimo lavoro nel caratterizzare.