La prova per contraddizione può funzionare senza la legge del mezzo escluso?

Recentemente ho pensato alla validità della prova per contraddizione. Negli ultimi giorni ho letto cose sulla logica intuitiva e sui teoremi di Godel per vedere se mi avrebbero fornito le risposte alle mie domande. In questo momento ho ancora domande persistenti (forse legate al nuovo materiale che ho letto) e speravo di ottenere alcune risposte

( ATTENZIONE : stai per procedere con la lettura di contenuti con fondamenti molto confusi nella logica, prendere tutto con un granello di sale, supponiamo che sia una domanda e non una risposta, ci sono molti malintesi).

Penso che la mia domanda principale sia, una volta che abbiamo dimostrato che non A porta a qualche contraddizione, quindi non A deve essere falso, quindi andiamo e concludiamo che A deve essere vero. Quella parte ha un senso (specialmente se accetto la legge del mezzo escluso come qualcosa che ha un senso), ma ciò che mi disturba è una sorta di prova reale della contraddizione. Per prima cosa iniziamo con non A e poi applichiamo solo assiomi e regole di inferenza (diciamo meccanicamente) e vediamo dove ci porta. Di solito raggiunge una contraddizione (diciamo che A è vera o $\neg \varphi$ e $\phi$ è vera). Concludiamo che non A deve essere falso, quindi A è vero. Va bene. Ma la mia domanda è: che tipo di garanzie hanno i sistemi formalise avessi applicato lo stesso processo ma avessi iniziato con A che non avrei avuto anche una contraddizione lì ? Penso che ci siano alcuni presupposti nascosti che dimostrano le contraddizioni secondo cui se lo stesso processo in A uno non raggiungesse una contraddizione , che tipo di garanzie abbiamo che non accadrebbe? C'è una prova impossibile? In altre parole, se avessi una Turning Machine (TM) (o super TM) che è andata per sempre, che ha provato tutti i passaggi logici di ogni assioma a partire dalla presunta vera dichiarazione $A$ , ciò che garantisce che NON HALT a causa della ricerca di una contraddizione ?

Ho quindi fatto alcune connessioni con la mia precedente domanda con il teorema di incompletezza di Godel che va in questo modo:

Un sistema formale F che esprime l'aritmetica non può dimostrare la propria coerenza (all'interno di F).

Questo in sostanza mi ha chiarito che se ciò è vero, allora la coerenza, ovvero garantire che A e non A non accada, è impossibile. Pertanto, ha fatto sembrare che la prova della contraddizione presupponga solo implicitamente che la coerenza sia garantita in qualche modo (altrimenti perché dovrebbe semplicemente andare avanti e concludere che A è vero dimostrando che A non è possibile se non lo sapesse già e contraddizione dove va bene, per ogni coppia di affermazioni A e non A)? È errato o mi sono perso qualcosa?

Poi ho pensato, ok lasciamo solo includere nei nostri assiomi la regola del mezzo escluso e quindi tutti i problemi sono risolti. Ma poi ho capito, aspetta che lo facciamo, stiamo solo definendo il problema invece di affrontarlo. Se costringo il mio sistema ad essere coerente per definizione, ciò non significa necessariamente che sia effettivamente coerente ... giusto? Sto solo cercando di dare un senso a queste idee e non sono del tutto sicuro di cosa fare, ma questo è quello che sto realizzando dopo alcuni giorni di lettura di materiale e visione di video in quasi tutti gli aspetti di questi concetti, contraddizione, mezzo esclusivo, logica intuizionista, teoremi di completezza e incompletezza di Godel ...

In relazione a ciò, sembra che sia essenzialmente impossibile dimostrare direttamente che qualcosa è falso senza la regola del mezzo escluso (o contraddizione). Sembra che i sistemi di prova siano bravi a provare affermazioni vere, ma a mio avviso non sono in grado di dimostrare direttamente che le cose sono false. Forse il modo in cui lo fanno è più indirettamente con la contraddizione (dove mostrano che qualcosa deve essere falso o accadono cose cattive), o mezzo escluso (dove conoscere il valore della verità di una sola A o no A ci dà la verità dell'altra) o fornendo esempi contrari (che mostrano sostanzialmente che è vero il contrario, quindi utilizza indirettamente la legge del mezzo escluso). Suppongo che forse voglio davvero una prova costruttiva che qualcosa è falso?

Penso che se potessi sapere che se non provo che A è falso (diciamo che accetto la contraddizione), allora è davvero ok e non ho bisogno di applicare tutte le regole di inferenza e gli assiomi all'infinito su A e sono sicuro che A ha vinto raggiungere una contraddizione. Se ciò fosse vero, penso che potrei accettare le prove per contraddizione più facilmente. È vero o la seconda incompletezza di Godel garantisce che non posso averlo? Se non posso averlo allora, ciò che mi confonde è come sia persino possibile per così tanti anni di matematici fare matematica che non abbiamo trovato un'incoerenza? Devo fare affidamento su prove empiriche di coerenza? O per esempio, il mio prof.F è coerente mostrando che superF dimostra F ma dal momento che in realtà non avrò mai bisogno di superF e solo F, quindi non posso essere contento che funzioni davvero?

Ho appena notato che il mio reclamo si generalizza anche alle prove dirette. Ok, quindi se avessi fatto una prova diretta di A, allora sapevo che A era vera ... ma come faccio a sapere che se avessi fatto una prova diretta di non A, non avrei ottenuto anche una prova corretta? Sembra la stessa domanda solo leggermente diversa enfasi ....

Mi hai chiesto (sto rendendo la tua domanda un po 'più chiara): "Quale garanzia formale esiste che non può accadere che sia sia p conducano a una contraddizione?" Sembra che ti preoccupi che se la logica è incoerente, allora la prova per contraddizione è problematica. Ma questo non è affatto il caso.$\lnot p$$p$

Se la logica è incoerente, allora la prova della contraddizione è ancora una regola di ragionamento valida, ma lo è anche la sua negazione, e la regola che dice che da possiamo concludere che tu sei il prossimo papa. Un'incoerenza nella logica non invalida nulla: al contrario, convalida tutto !$1 + 1 = 2$

Esiste un'altra possibile fonte di confusione: il titolo della tua domanda può essere letto nel senso che la legge del mezzo escluso afferma che la logica è coerente. Questo non è corretto La coerenza della logica equivale a "non è vero che sia un'affermazione che la sua negazione abbiano prove", mentre il mezzo escluso è la regola che ci consente di provare affermazioni del modulo .$p \lor \lnot p$

Supplemento: non capisco perché questa domanda stia generando così tante discussioni. Ho difficoltà a capire quale sia effettivamente il dilemma e, per quanto posso dire, la domanda sorge da una sorta di malinteso. Se qualcuno può chiarire la domanda, te ne sarò grato. Inoltre, vorrei solo attirare l'attenzione sui seguenti punti:

1. La prova per contraddizione e il mezzo escluso sono equivalenti tra loro, quindi il titolo, come scritto, non ha senso. Naturalmente non possiamo avere l'uno senza l'altro, sono equivalenti.

2. Da quello che posso capire dalla lunga discussione nella domanda, l'OP sembra dire, o preoccupare, che un'incoerenza nella logica invalida una prova. Questo è falso, come ho sottolineato sopra. Gradirei una sorta di risposta dall'OP: l'OP può vedere come un'incongruenza nella logica (cioè, essere in grado di provare tutto) non invalida alcuna prova?

3. Trovo probabile, ma non posso davvero dirlo con certezza, che l'OP ritiene che la legge del mezzo escluso stabilisca che è impossibile sia per che ¬ p (con una formula: ¬ ( p ∧ ¬ p ) ). Questo non è escluso al centro. A volte viene chiamata la legge della non contraddizione, ed è dimostrabile (senza mezzo escluso).$p$$\lnot p$$\lnot (p \land \lnot p)$

4. L'OP ritiene "impossibile provare direttamente che qualcosa è falso senza mezzo escluso". Sta confondendo la prova della negazione e la prova della contraddizione, che non sono la stessa cosa . Il post collegato contiene molti esempi di prove costruttive che qualcosa è falso. In effetti, la maggior parte delle prove che qualcosa di falso si trova nei libri di testo sono già costruttive.

5. L'incompletezza di Gödel viene trascinata per un motivo che posso discernere. L'incompletezza di Gödel fornisce una frase tale che né G né ¬ G sono provabili. Ciò non implica che G ∨ ¬ G non sia dimostrabile (lo è, con una semplice applicazione di mezzo escluso)! Né implica che ¬ G ∧ ¬ ¬ G regge, o qualcosa del genere. Quindi, in che modo l'incompletezza di Gödel è rilevante qui?$G$$G$$\lnot G$$G \lor \lnot G$$\lnot G \land \lnot\lnot G$

PS, mi scuso per la versione precedente del supplemento che era scortese.

Penso che la tua domanda si riduce a "quando faccio una verifica formale con una sorta di logica formale, che tipo di garanzia ho che la logica è coerente?". E la risposta è: nessuna. È qualcosa che devi assumere. La verifica formale non elimina tutte le ipotesi; ti aiuta solo a essere più chiaro su ciò che stai assumendo e forse ti aiuta a garantire che inizi da ipotesi che sembrano ragionevoli.

Se lavori all'interno di una logica standard, generalmente la maggior parte delle persone è felice di ritenere che la logica sia coerente, anche se non ne ha la prova. È vero che un giorno potremmo scoprire che la logica è in realtà incoerente ... ma molte persone credono che ciò non sia molto probabile.

In alcuni casi si può dimostrare che una logica è coerente, ma ciò richiede l'uso di un'altra logica più potente, in cui dobbiamo supporre che la seconda logica sia coerente, quindi ci resta ancora da fare alcune ipotesi (supporre che una logica sia coerente ). Questo potrebbe essere preso come prova del fatto che la prima logica è probabilmente coerente, se si ritiene che la seconda logica sia probabilmente coerente, ma il ragionamento deve arrivare a fondo da qualche parte - ci sono alcune cose che dobbiamo solo supporre e che non possiamo provare.

Vedi, ad esempio, il secondo problema di Hilbert e questa discussione sulla coerenza di ZFC (e questo e questo e questo e probabilmente molti altri).

Ci sono molti punti filosofici interessanti che il tuo post tocca.

Coerenza della logica booleana

Il problema della coerenza della teoria della dimostrazione nella logica classica non è così terribile come si immagina. In pratica si riduce a quanto segue:

Siamo in grado di definire la logica booleana come una raccolta di funzioni di operazioni logiche sui valori di verità 1e 0. Ma come lo sappiamo 0≠1?

(nota che sto semplicemente usando 0e 1come simboli astratti per i due valori di verità; in particolare, non sto assumendo alcuna nozione di numero intero qui)

Noi, naturalmente, non lo sappiamo che 0e 1siamo diversi. Ma la logica booleana è così ridicolmente semplice che rifiutare questa possibilità è un livello estremo di scetticismo.

Ma la logica proposizionale classica si riduce a questo. Ricordiamo che possiamo assegnare valori booleani alle proposizioni atomiche in qualsiasi modo, e ciò si estende all'assegnazione di un valore a tutte le proposizioni che possono essere costruite da quelle atomiche.

L'affermazione "da Pte puoi dedurre Q" è letteralmente solo una relazione d'ordine; significa la stessa affermazione che " v(P) ≤ v(Q)vale per ogni funzione che vassegna valori di verità alle proposizioni atomiche".

Le regole di inferenza per la logica proposizionale sono precisamente le proprietà per lavorare con l'ordinamento ≤. Prova della contraddizione, in particolare, è l'osservazione che se P ≤ 0, allora P = 0.

E tornando al tuo problema ... se sapessimo entrambi P ≤ 0e ¬P ≤ 0, dopo aver inserito i valori di verità, alla fine lo concluderemmo 0=1; che vero e falso significano la stessa cosa.

Quindi, se hai fiducia che "vero" e "falso" significano cose diverse, allora dovresti avere una fiducia simile nella coerenza della logica booleana.

Prova per contraddizione nella logica intuizionista

Bisogna notare attentamente che la prova per contraddizione è meglio formulata come:

• Se riesci a ricavare una contraddizione P, allora concludi¬P

In effetti, si potrebbe definire chiaramente la negazione come connettiva con questa proprietà. Ad esempio nell'algebra di Heyting di solito vedrai ¬P definito per indicare P → 0.

Si noti, in particolare, il caso speciale

• Se riesci a ricavare una contraddizione ¬P, allora concludi¬¬P

Quello che hai descritto come "dimostrazione per assurdo" viene da identificare ¬¬Pcon P. La logica intuitiva non presuppone che siano equivalenti.

Coerenza come contratto formale

Esistono più formalismi computazionali per la logica di codifica; vedere il calcolo lambda semplicemente digitato, i tipi dipendenti e in particolare il paradigma "proposizioni come tipi".

Senza entrare nei dettagli, la contraddizione viene sostanzialmente trattata come un contratto formale. C'è un tipo, che chiamerò 0, e c'è il contratto "queste funzioni non possono essere usate per costruire un elemento di tipo 0".

Se un tale sistema è così audace da permetterti di costruire una funzione T → 0, allora se si tiene davvero al contratto, significa che è altrettanto impossibile costruire qualsiasi oggetto di tipo T. Questo è un punto di vista computazionale sul significato di una prova per contraddizione.

In definitiva, questo non è molto diverso da, ad esempio, una funzione C che restituisce un puntatore che promette di non restituire un puntatore null o una funzione C ++ che promette di non generare un'eccezione.

E tornando al punto di partenza, tornando alla logica classica, è proprio quello che stiamo facendo.

Ci vengono offerti contratti formali, come "dagli assiomi di Peano, le regole di inferenza non ti permetteranno di derivare una contraddizione". Se questo contratto è davvero rispettato, allora se tu fossi in grado di dimostrare che ¬Pimplica una contraddizione, allora Pnon puoi anche implicare una contraddizione.

E se fosse possibile violare il contratto, diremmo semplicemente "gli assiomi di Peano sono incoerenti".

Se utilizzati per garantire la verità di un'affermazione formale, tutte le prove assumono implicitamente la coerenza del sistema su cui sono basate. Questo perché se il sistema è incoerente, l'intero sistema viene interrotto e tutto il lavoro che abbiamo svolto in quel sistema è fondamentalmente spazzatura.

Poiché non possiamo dimostrare che qualsiasi sistema (o almeno qualsiasi sistema complesso) sia coerente all'interno dei confini di quel sistema, dobbiamo considerarlo una verità empirica piuttosto che una verità formalmente dimostrabile. Fondamentalmente, se i matematici trascorrono molto tempo a lavorare con un sistema formale e non viene mai scoperta alcuna contraddizione, allora questa è una prova empirica a favore della coerenza del sistema. Inoltre, potremmo utilizzare un sistema più potente per dimostrare la coerenza del sistema con cui stiamo lavorando (sebbene la coerenza di questo sistema più potente sarebbe ancora empirica - il dollaro si ferma da qualche parte).

Al suo centro, la situazione in matematica è identica a quella della scienza. Costruiamo la matematica basandoci su teorie che sembrano corrette sulla base di tutte le informazioni che abbiamo a disposizione su tali teorie e, come nella scienza, non è possibile dimostrare che una teoria sia corretta; puoi solo dimostrarlo errato.

Quando abbiamo iniziato a provare a basare la matematica nella teoria degli insiemi, in realtà abbiamo scoperto che le nostre prime formulazioni di teoria degli insiemi erano incoerenti perché consentivano cose come "lascia essere l'insieme di tutti gli insiemi che non contengono se stessi". Abbiamo dovuto buttare via queste formulazioni.$S$

Indipendentemente dal sistema di assiomi su cui scegliamo di basare la matematica, c'è sempre il pericolo che scopriremo una contraddizione in quel sistema. Questo è esattamente il motivo per cui i matematici non introducono nuovi assiomi in matematica: ogni nuovo assioma ha la possibilità di essere incompatibile con gli assiomi già in uso e tutto il lavoro che utilizza il nuovo assioma dovrebbe essere completamente rivalutato.

Addendum: quando parlo di un'affermazione vera per un determinato sistema intendo che non può essere smentita all'interno di quel sistema se quel sistema è coerente.