Problema NP completo con un numero polinomiale di casi sì?

Ho l'impressione che per ogni problema NP completo, per infinitamente molte dimensioni di input , il numero di istanze yes su tutti i possibili input di dimensione sia (almeno) esponenziale in .$n$$n$$n$

È vero? Può essere provato (probabilmente solo supponendo che )? O possiamo, forse artificialmente, trovare un problema in cui per tutti (abbastanza grande) , il numero di istanze yes è al massimo polinomiale in ?$P\neq NP$$n$$n$

Il mio ragionamento è fondamentalmente che dato un'istanza yes per 3-SAT, possiamo identificare il letterale in ogni clausola che lo rende vero e sostituire un'altra variabile nella clausola con l'ennesima variabile, senza cambiare che sia soddisfacente. Dal momento che potremmo farlo con ogni clausola, porta a un numero esponenziale di istanze yes. Lo stesso vale per molti altri problemi come il percorso hamiltoniano: possiamo cambiare liberamente i bordi che non sono sul percorso. Quindi ho vagamente ragione nel ritenere che, laddove in qualche modo devono essere mantenute soluzioni, la riducibilità è necessaria, deve valere per tutti i problemi NP-completi.

Sembra anche valere per il problema forse intermedio NP dell'isomorfismo dei grafi (dove possiamo applicare liberamente le stesse modifiche ad entrambi i grafici se conosciamo la mappatura). Mi chiedo se valga anche per la fattorizzazione a numeri interi.

Un linguaggio con solo un numero polinomiale di istanze yes è chiamato sparse . Il teorema di Mahaney afferma che se un linguaggio NP completo è scarso, allora P = NP. Dal momento che la maggior parte delle persone si aspettano che P NP, sembra improbabile che esista un linguaggio NP-completo con la sola polinomiale molti yes-casi.$\ne$

È una domanda separata se il numero di istanze yes è esponenziale. (Si potrebbe immaginare che il numero di istanze sì potrebbe essere più che polinomiale ma meno esponenziale.) La congettura di Berman-Hartmanis è rilevante qui; implica che tutti i problemi NP-completi hanno esponenzialmente molti casi-sì. La congettura rimane un problema aperto.