Set indipendente su grafici cubici senza triangoli

So che l'insieme massimo indipendente su grafici cubici senza triangolo è NP-completo.

È ancora NP-completo nel caso in cui sia necessario che il set indipendente abbia le dimensioni esattamente ? $|V|/2$

Fondamentalmente, l'istanza YES del problema dell'insieme indipendente sul problema dei grafici senza triangoli cubici deve avere esattamente nodi . Nessuna istanza ha un set indipendente di dimensioni inferiori a . $|V|/2$ $|V|/2$

complexity-theory np-complete

— Mohammad Al-Turkistany
fonte

cs.stackexchange.com/questions/1176/… potrebbe essere pertinente.

— Louis,

Quali sono i casi NO?

— Yuval Filmus,

@YuvalFilmus Sta chiedendo che il problema sia $\alpha(G) = |G| / 2$

doveè l'ordine del grafico. Dovrebbe essere possibile riempire alcuni vertici isolati sul grafico per aumentare il numero di indipendenza. Mohammad, conosci la riduzione? Non è possibile aggiungere vertici isolati per ottenere la riduzione desiderata?

| G |

$|G|$

n / 2 - k

$n/2 - k$

— Pål GD,

No, non ho una riduzione.

— Mohammad Al-Turkistany,

@ PålGD La riduzione non funzionerebbe, poiché il solito problema chiede se anziché . In effetti, non è nemmeno chiaro che il problema sia in NP.

α (G) \geq k

$\alpha(G) \geq k$

α (G) = k

$\alpha(G) = k$

— Yuval Filmus,

Cominciamo dimostrando che il set massimo indipendente è di dimensioni al massimo . Lascia che sia un set indipendente. Per ogni vertice , lasciate sia il numero dei suoi vicini . Se , allora sappiamo che . Poiché il grafico è cubico,. Poiché , il numero di vertici tale che è almeno. Quindi . $|V|/2$ $I$ $v$ $\alpha(v)$ $I$ $\alpha(v) \geq 1$ $v \notin I$ $\sum_v \alpha(v) = 3|I|$ $\alpha(v) \leq 3$ $\alpha(v) \geq 1$ $|I|$ $|I| \leq |V|/2$

Quando possiamo avere l'uguaglianza? Dobbiamo avere , quindi per ogni vertice non in , tutti i paesi vicini devono essere in . Il contrario è anche vero - per ogni vertice in , tutti i suoi vicini non sono . In altre parole, il grafico deve essere bipartito. Questo può essere verificato in tempo polinomiale. $\alpha(v) \in \{0,3\}$ $I$ $I$ $I$ $I$

— Yuval Filmus
fonte

YuvalFilmus Grazie mille. Questo fornisce un algoritmo temporale polinomiale per il mio problema?

— Mohammad Al-Turkistany,

Penso di si - sei d'accordo?

— Yuval Filmus