La domanda aperta NP = co-NP è uguale a P = NP?

Mi chiedo questo in base a diversi posti online che chiamano co- un grave problema aperto ... ma non riesco a trovare alcuna indicazione se questo sia o meno lo stesso di Problema ...N P P = N $\sf NP=$$\sf NP$$\sf P=NP$

No. È un altro problema aperto e sicuramente correlato, ma diverso. La classe di complessità co-$\mathsf{NP}$ N P è l'insieme di linguaggi i cui complementi sono in ; vale a dire, l'insieme dei problemi decisionali per i quali una risposta "no" ha un verificatore del tempo polinomiale deterministico. Ad esempio, la domanda "Questa formula SAT è insoddisfacente?" Se la risposta è "no", allora c'è qualche assegnazione soddisfacente delle variabili che lo dimostra; questo è il certificato per il verificatore.$\mathsf{NP}$

È possibile che , tuttavia co- .N P = N $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$\mathsf{NP} =$$\mathsf{NP}$

D'altra parte, se , allora co- di sicuro. Questo perché se una lingua è in , anche il suo complemento è in , quindi se , allora vale per ogni lingua in pure.N P = N P P P P = N P N $\mathsf{P} = \mathsf{NP}$$\mathsf{NP} =$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$$\mathsf{P}$$\mathsf{P} = \mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$

Un buon modo per rispondere a questa domanda è usare la gerarchia polinomiale (PH) (vedi anche qui ). La gerarchia polinomiale è una gerarchia di classi di complessità che generalizza le classi , e a macchine oracolari e le utilizza come scala per misurare la complessità dei problemi.N P c o - N ${\sf P}$${\sf NP}$${\sf co-NP}$

È noto che se o la gerarchia polinomiale crolla al suo primo livello.P = N ${\sf NP}={\sf co-NP}$${\sf P}={\sf NP}$