Mostrando che la minima eliminazione del vertice in un grafico bipartito è NP-completa

Considera il seguente problema la cui istanza di input è un semplice grafico e un intero naturale . $G$ $k$

Esiste un insieme tale che è bipartito e ? $S \subseteq V(G)$ $G - S$ $|S| \leq k$

Vorrei dimostrare che questo problema è - completo riducendo a 3-SAT, -CLIQUE, -DOMINATING SET o -VERTEX COVER. $\rm{NP}$ $k$ $k$ $k$

Credo di poter ridurre il problema del 3-COLORING in modo da poter solo vedere come ridurre uno dei problemi menzionati. Ma dal momento che sarebbe piuttosto disordinato, mi chiedo se qualcuno vede un'elegante riduzione dei problemi di cui sopra.

Inoltre, esiste un nome per questo problema decisionale?

complexity-theory np-complete reductions

— Jernej
fonte

Ciclo trasversale dispari .

— Pål GD,

Questo sembra simile al set di vertici di feedback . Cioè, si desidera trovare un sottoinsieme minimo di vertici da rimuovere in modo che il grafico risultante sia aciclico. Un grafico aciclico è per definizione un albero (o foresta) che è bipartito.

— Nicholas Mancuso,

@NicholasMancuso Non è così simile. È proprio come ho detto sopra, il problema del ciclo trasversale dispari. O come sottolinea Vor, è stato chiamato il nodo bipartito (o vertice) da Yannakakis negli anni '70 e '80.

— Pål GD,

@ PålGD, sono d'accordo. Ho sentito che la riduzione più semplice sarebbe da FVS. Tuttavia, ciò è reso superfluo dalla sua definizione di Odd Cycle Transversal.

— Nicholas Mancuso,

@Jernej: dici "... Vorrei dimostrare che questo problema è in NP riducendolo a 3-SAT, il k-CLIQUE, ...". Intendi "Vorrei dimostrare che questo problema è NP-difficile usando una riduzione da 3-SAT, k-CLIQUE, ..."? (il problema è chiaramente in NP perché il test se un grafico è bipartito può essere fatto in tempo lineare)

— Vor

Il tuo problema è un caso speciale di una più ampia classe di problemi denominati problemi di eliminazione dei nodi :

JM Lewis e M. Yannakakis, "Il problema della cancellazione dei nodi per le proprietà ereditarie è NP-completo"

$\Pi$ $G$ $\Pi$ $\Pi$ $\Pi$ $\Pi$ $\Pi$ $\Pi$

Il tuo problema è il problema di eliminazione dei nodi per la bipartit , ma (come notato da Pal), è oggi noto come il problema dello spostamento del ciclo dispari (OCT).

MODIFICARE

Per quanto riguarda una riduzione diretta, ho pensato a questo da 3SAT.

$n$ $m$ $x_i, \overline{x_i}$ $n+1$ $x_i$ $x_i$ $\overline{x_i}$ $n$ $x_i$ $\overline{x_i}$ $C_j$ $C_j$

$G$ $n$

inserisci qui la descrizione dell'immagine

— vor
fonte

Questa non è proprio la risposta alla domanda. OP vuole ridurre esplicitamente usando il problema dato. Inoltre, il problema è noto oggi come Odd Cycle Transversal.

— Pål GD,

@ PålGD: hai ragione.

— Vor

Sì, ma non riesco a vedere immediatamente una riduzione dall'elenco dei problemi di OP, anche se ... so solo quello che hai citato, di Yannakakis.

— Pål GD,

@ PålGD: ci penserò su una riduzione diversa, ma ad essere sincero non sono sicuro di cosa voglia esattamente l'OP (vedi il mio commento sopra).

— Vor

@Vor Quello che voglio è vedere una semplice riduzione a uno dei problemi citati. Questo articolo mi è noto ma sto piuttosto cercando la riduzione più diretta.

— Jernej,