Richiedere l'unicità di risposte valide per Merlino limita la potenza dei protocolli Arthur-Merlin?

Preambolo.

La classe di complessità AM sono quei problemi che possono essere risolti da un sistema di prove interattive a due turni tra un prover "Merlin" e un verificatore "Arthur". Un problema - che verifica alcune proprietà di un oggetto X - è in AM se:

Per i casi SÌ , per un messaggio "sfida" casuale (di lunghezza polinomiale) genera Arthur, con alta probabilità Merlino può formulare una risposta (lunghezza polinomiale) che Arthur può usare come prova che X ha la proprietà;
Per NO casi, per un messaggio di sfida a caso Arthur genera, con elevata probabilità Merlin non può formulare alcuna risposta che può essere utilizzato come prova per la proprietà in fase di sperimentazione per il X .

- La classe descritta non cambia se richiediamo a Merlino di dare una risposta utile non solo con alta probabilità, ma per qualsiasi sfida che Arthur possa presentare; potremmo dire in questo caso che richiediamo che la risposta di Merlino sia sempre valida per le istanze SÌ e che Arthur test sia la validità della risposta. Quindi, se Merlin produce mai una risposta non valida, Arthur sa che l'istanza del problema non è un'istanza NO . Questa è l'impostazione che preferirei prendere in considerazione.

Un esempio è il non isomorfismo grafico: dati i grafici G e H con lo stesso set di etichette vertici, Arthur può selezionare casualmente uno dei grafici e produrre una versione "criptata" F permutando le sue etichette vertici, inviandone una presentazione a Merlino . Se i due grafici non sono isomorfi, Merlino può identificare quale di G o H Arthur ha scelto determinando se F ≅ G o F ≅ H , e può rispondere identificando a quale dei due F è isomorfo. Se i due grafici G e H sono isomorfi, tuttavia, Merlino non è in grado di distinguere quale graficoF viene da, e qualsiasi risposta che dà può essere corretta solo per caso. Pertanto, per i casi SÌ Merlino può sempre inviare una risposta valida a qualsiasi sfida; per NESSUNA istanza qualsiasi risposta che Merlin potrebbe inviare sarà con alta probabilità non valida.

Nel problema sopra riportato, non esiste solo una risposta valida che Merlino può inviare ad Arthur per ogni sfida, ma in realtà esiste una risposta valida unica : vale a dire indicare quale di G o H Arthur ha scelto, dato che questo può essere determinato da identificazione che è isomorfo a F .

Domanda.

L'imposizione di un vincolo in tal senso - che per le istanze SÌ , per qualsiasi sfida che Arthur potrebbe inviare, esiste esattamente una risposta valida per Merlino - produce una classe più restrittiva, nel senso di produrre una classe che non è nota per eguagliare AM ?

cc.complexity-theory interactive-proofs unique-solution

— Niel de Beaudrap
fonte

Prima di considerare se è uguale a AM o no, non riesco nemmeno a vedere come dimostrare che NP è contenuto nella tua classe….

— Tsuyoshi Ito,

Se chiediamo a Merlin di avere una risposta valida solo con alta probabilità, allora la classe contiene NP (e, immagino, tutto AM): possiamo fare in modo che Arthur esegua la riduzione Valiant-Vazirani in Unique-SAT.

— Emil Jeřábek sostiene Monica

@Emil: capisco che se “alta probabilità” è 1 / poli, ma è possibile aumentare quella probabilità, per esempio, una costante?

— Tsuyoshi Ito,

Abbastanza giusto, questa è in realtà una probabilità piuttosto piccola. Non so come renderlo una costante.

— Emil Jeřábek sostiene Monica

Stai prendendo in considerazione protocolli di moneta pubblica o protocolli di moneta privata? Dalla definizione, sembra che tu stia pensando a protocolli a moneta pubblica, ma il protocollo per il non isomorfismo grafico che hai descritto non è un protocollo a moneta pubblica.

— Tsuyoshi Ito,

L'articolo di Koiran Hilbert's Nullstellensatz è nella Gerarchia polinomiale fornisce un protocollo Arthur-Merlin a moneta pubblica per stabilire che un sistema di equazioni su incognite ha una soluzione in , dipendente dall'ipotesi di Riemann generalizzata. Qui Merlino trova una principale con per alcuni hash casuali , insieme a una soluzione per ciascuna delle equazioni . $m$ $n$ $\mathbb{C}^n$ $p$ $H(p)=0$ $H$ $(a_0,a_1,\cdots, a_n)$ $m$ $\bmod p$

Se il sistema di equazioni non ha soluzione , allora ci sarà solo un numero finito di modulo in cui esiste una soluzione. Se il sistema ha una soluzione , quindi incondizionatamente ci sarà una densità positivo di con una soluzione, e la GRH permette che il con una soluzione sono "equidistributed" in un certo senso, in modo tale che Merlin ottiene una vittoria. $\bmod p$ $p$ $\bmod p$ $p$ $p$

Sebbene Koiran dia un esempio di un sistema risolvibile in cui la densità di è esponenzialmente piccola, Koiran suggerisce che se il sistema è risolvibile in , nella maggior parte dei casi ci sarà un gran numero di (e un gran numero di ); infatti circa i primi dovrebbero avere una soluzione IIRCC. $p$ $\mathbb{C}^n$ $p$ $a$ $1-1/e$

Pertanto, nel problema sopra riportato, non esiste solo una risposta valida che Merlino può inviare ad Arthur per ogni sfida, ma in realtà potrebbe esserci un gran numero di risposte valide.

Distinguere i sistemi facili di equazioni con soluzioni modulo molti dai sistemi duri di equazioni con poche o solo una sembra richiedere la determinazione delle proprietà di un gruppo Galois del sistema di equazioni. $p$ $p$

— Mark S
fonte