La tua domanda potrebbe essere meglio formulata, "In che modo la teoria della complessità sarebbe influenzata dalla scoperta di una prova che P = NP è formalmente indipendente da un forte sistema assiomatico?"
È un po 'difficile rispondere a questa domanda in astratto, cioè in assenza di vedere i dettagli della dimostrazione. Come cita Aaronson nel suo articolo, dimostrare l'indipendenza di P = NP richiederebbe idee radicalmente nuove, non solo sulla teoria della complessità, ma su come dimostrare le dichiarazioni di indipendenza. Come possiamo prevedere le conseguenze di una svolta radicale di cui non possiamo nemmeno immaginare la forma?
Tuttavia, ci sono un paio di osservazioni che possiamo fare. Sulla scia della prova dell'indipendenza dell'ipotesi del continuum dallo ZFC (e più tardi dallo ZFC + cardinali di grandi dimensioni), un numero considerevole di persone è giunto al punto di vista che l'ipotesi del continuum non è né vera né falsa . Potremmo chiedere se le persone giungeranno allo stesso modo alla conclusione che P = NP non è "né vero né falso" sulla scia di una prova di indipendenza (per ragioni di argomento, supponiamo che P = NP sia dimostrato indipendente dallo ZFC + qualsiasi assioma cardinale). La mia ipotesi non lo è. Aaronson dice sostanzialmente che non lo farebbe. Il secondo teorema di incompletezza di Goedel non ha portato nessuno di quelli che conosco a sostenere che "ZFC è coerente" non è né vero né falso.e molte persone hanno forti intuizioni che affermazioni aritmetiche - o almeno affermazioni aritmetiche semplici come "P = NP" - devono essere vere o false. Una prova di indipendenza verrebbe semplicemente interpretata nel senso che non abbiamo modo di determinare quale di P = NP e P NP sia il caso.≠
Ci si può anche chiedere se le persone interpreterebbero questo stato di cose dicendoci che c'è qualcosa di "sbagliato" nelle nostre definizioni di P e NP. Forse dovremmo quindi rifare le basi della teoria della complessità con nuove definizioni che sono più tracciabili con cui lavorare? A questo punto penso che siamo nel regno di speculazioni selvagge e infruttuose, in cui stiamo cercando di attraversare ponti che non siamo riusciti a fare e cercando di riparare cose che non sono ancora state rotte. Inoltre, non è nemmeno chiaro che qualcosa lo farebbeessere "rotto" in questo scenario. I teorici del set sono perfettamente felici supponendo che qualsiasi grande assioma cardinale ritenga conveniente. Allo stesso modo, i teorici della complessità potrebbero anche, in questo ipotetico mondo futuro, essere perfettamente felici assumendo qualsiasi assioma di separazione che ritengono vero, anche se dimostrabilmente non dimostrabile.
In breve, nulla segue logicamente da una prova di indipendenza di P = NP. Il volto della teoria della complessità potrebbe cambiare radicalmente alla luce di una svolta così fantastica, ma dovremo solo aspettare e vedere come appare la svolta.