Sul

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EDIT (di Tara B): Sarei comunque interessato a un riferimento a una prova di questo, poiché dovevo provarlo da solo per il mio articolo.

Sto cercando la prova del Teorema 4 che appare in questo documento:

Una gerarchia infinita di intersezioni di linguaggi senza contesto di Liu e Weiner.

Teorema 4: una varietà affine dimensionale non è espressibile come unione finita di varietà affine ciascuna delle quali ha dimensione o inferiore. $n$ $n-1$

Qualcuno conosce un riferimento alla prova?
Se la varietà è finita e definiamo un ordine naturale sugli elementi, c'è qualche affermazione simile in termini di reticoli?

Alcuni retroscena per comprendere il teorema:

Definizione: Sia l'insieme di numeri razionali. Un sottoinsieme è un collettore affine se quando , e . $\mathbb{Q}$ $M\subseteq \mathbb{Q}^n$ $(\lambda x+(1-\lambda)y)\in M$ $x\in M$ $y\in M$ $\lambda\in\mathbb{Q}$

Definizione: si dice che una varietà affine è parallela a una varietà affine se per alcuni . $M'$ $M$ $M'=M+a$ $a\in \mathbb{Q}^n$

Teorema: Ogni affine non vuoto molteplice è parallelo ad un unico sottospazio . Questo è dato da $M\subseteq \mathbb{Q}^n$ $K$ $K$ $K=\{x-y:x,y\in M\}$

Definizione: la dimensione di una varietà affine non vuota è la dimensione del sottospazio parallela ad essa.

— Marcos Villagra
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So che questa è una domanda piuttosto vecchia, ma oggi mi sono appena imbattuto e volevo solo chiederti se stavi leggendo quel documento per qualche motivo particolare? (Capita di essere strettamente correlato ad alcune delle mie ricerche.)

— Tara B,

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Intuitivamente, il teorema afferma che una linea non è un'unione finita di punti, un piano non è un'unione finita di linee, ecc. La prova più semplice è osservare, ad esempio, che un'unione finita di linee ha un'area zero, mentre un l'aereo no.

$\mathbb{R}^n$ $M\subseteq \mathbb{Q}^n$ $A x = b$ $\mathbb{R}^n$

$d$ $\le d - 1$ $d$ $d$ $d$

$\mathbb{F}$ $d$ $\mathbb{F}^n$ $|\mathbb{F}|^d$ $|\mathbb{F}|^d/|\mathbb{F}|^{d-1}=|\mathbb{F}|$ $\le d - 1$ $d$

— david
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Grazie!! questo risponde ad entrambe le domande. Ciò che ho (molto poco chiaro) nella seconda domanda era "cosa succederebbe se invece di una varietà affine avessimo un insieme convesso finito". Tuttavia, la tua risposta ha chiarito i miei dubbi.

— Marcos Villagra

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$\mathbb F$

$n\ge0$ $A\subseteq\mathbb F^m$ $n$ $n$

$n=0$

$n$ $n+1$ $A=\bigcup_{i<k}A_i$ $\dim(A)=n+1$ $\dim(A_i)\le n$ $B\subset A$ $n$ $B=\bigcup_i(B\cap A_i)$ $\dim(B\cap A_i)=n$ $i<k$ $B=A_i$ $k$ $A_i$ $B$ $A$ $n$ $B_0$ $v$ $A$ $B_0$ $A$ $B_0+av$ $a\in\mathbb F$

— Emil Jeřábek
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bella prova alternativa!

— Marcos Villagra

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No, questa è la prova e l'altra è alternativa perché trascina nella teoria delle misure :-)

— Andrej Bauer

Ahhh capisco, buon punto

— Marcos Villagra