Riduzione dello spazio di registro dai circuiti Parity-L a CNOT?

Domanda.

Nel loro articolo Simulazione migliorata dei circuiti stabilizzatori , Aaronson e Gottesman affermano che la simulazione di un circuito CNOT è ⊕L completa (con riduzioni dello spazio di log). È chiaro che è contenuto in ⊕L ; come regge il risultato di durezza?

Equivalentemente: esiste una riduzione dello spazio di log dai prodotti a matrice iterata modulo 2, ai prodotti iterati di matrici elementari (le matrici invertibili che realizzano trasformazioni di riga) mod 2?

Dettagli

Un'operazione NOT-controllata (o CNOT ) è un'operazione booleana reversibile, nella forma dove l'unico j ^esimo bit viene cambiato, e che il bit viene modificato aggiungendo modulo 2, per qualsiasi posizione distinta h e j . Non è difficile da vedere, se interpretiamo

{C N O T}_{h, j} (x_{1}, \dots, x_{h}, \dots, x_{j}, \dots, x_{n}) = (x_{1}, \dots, x_{h}, \dots, x_{j} \oplus x_{h}, \dots, x_{n})

$\mathsf{CNOT}_{\!h,j} (x_1\,, \;\ldots\;, x_h\,,\; \ldots\;, x_j\,, \;\ldots\;, x_n) \;\;=\;\; (x_1\,, \;\ldots\;, x_h\,,\; \ldots\;, x_j \oplus x_h\,, \;\ldots\;, x_n)$

x_{h}

$x_h$

x = (x_{1}, \dots, x_{n})

$\mathbf x = (x_1\,, \;\ldots\;, x_n)$ come vettore sopra ℤ / 2ℤ, che corrisponde a una trasformazione di riga elementare modulo 2, che possiamo rappresentare con una matrice con 1s sulla diagonale e una singola posizione fuori diagonale. Un circuito CNOT è quindi un prodotto a matrice costituito da un prodotto di alcune matrici elementari di questo tipo.

L'articolo di Aaronson e Gottesman menzionato sopra (che, molto incidentalmente a questa domanda, riguarda una classe di circuiti quantistici che possono essere simulati in ⊕L ) ha una sezione sulla complessità computazionale. Verso l'inizio di questa sezione, descrivono ⊕L come segue:

⊕L [è] la classe di tutti i problemi che sono risolvibili da una macchina di Turing spazio logaritmico non deterministica, che accetta se e solo se il numero totale di percorsi accettanti è dispari. Ma esiste una definizione alternativa che è probabilmente più intuitiva per i non informatici. Questo è che ⊕L è la classe di problemi che si riduce alla simulazione di un circuito CNOT di dimensioni polinomiali, cioè un circuito composto interamente da gate NOT e CNOT, che agisce sullo stato iniziale | 0 ... 0⟩. (È facile dimostrare che le due definizioni sono equivalenti, ma ciò richiederebbe prima di tutto di spiegare cosa significhi la definizione normale!)

Il pubblico di riferimento dell'articolo includeva un numero considerevole di scienziati non informatici, quindi il desiderio di eludere non è irragionevole; Spero che qualcuno possa chiarire come valga questa equivalenza.

Chiaramente, la simulazione di un prodotto di tali matrici può essere eseguita in ⊕L come un caso speciale di valutazione dei coefficienti dei prodotti a matrice iterata (mod 2), che è un problema completo (in riduzioni dello spazio di log) per ⊕L . Inoltre, poiché le matrici CNOT eseguono solo operazioni di riga elementare, qualsiasi matrice invertibile può essere scomposta come prodotto delle matrici CNOT. Tuttavia: non è chiaro come decomporsi anche come una matrice invertibile mod 2 in un prodotto di matrici CNOT mediante una riduzione dello spazio di log . (In effetti, come osservato da Emil Jeřábek nei commenti, l'eliminazione gaussiana è sufficiente per calcolare i determinanti mod 2, che è un problema ⊕L-completo : quindi un attacco diretto per decomposizione ad es. matrici invertibili come prodotti di matrici elementari non sembrano fattibili nello spazio di log a meno che L = ⊕L .) Per non parlare dei prodotti a matrice che non sono invertibili. Quindi sembra essere necessaria una riduzione più intelligente.

Spero che qualcuno possa fornire uno schizzo di questa riduzione, o un riferimento ( ad esempio un testo per il quale questo è un esercizio, se è semplice).

— Niel de Beaudrap
fonte

Suppongo che i determinanti di calcolo mod

sia anche ⊕L completo, quindi l'eliminazione gaussiana mod

è ⊕L-difficile.

2

$2$

2

$2$

— Emil Jeřábek sostiene Monica

@EmilJeřábek: sto pensando alla tua osservazione e sto cercando di vedere se questo implica immediatamente che la simulazione dei circuiti CNOT non è completa per ⊕L a meno che L = ⊕L . (Considera un prodotto di una matrice o un prodotto di una singola matrice con la matrice identità!) Questo sembra quasi troppo facile; mi sto perdendo qualcosa? Suppongo che forse escluda solo riduzioni multiple.

— Niel de Beaudrap,

Non penso sia così facile. ⊕L è una classe di problemi di decisione, mentre la moltiplicazione della matrice su F_2 è un problema di funzione. La versione ⊕L della moltiplicazione della matrice è chiedere un particolare bit del risultato (diciamo, la voce in alto a sinistra della matrice). Può esserci un algoritmo di spazio di log che prende una sequenza di matrici e produce una sequenza di matrici elementari in modo che i prodotti di entrambe le sequenze abbiano lo stesso elemento in alto a sinistra? Questo è molto più debole della vera eliminazione gaussiana. In realtà, la tesi di Aaronson e Gottesman mi sembra plausibile, anche se non sono sicuro di come dimostrarlo.

— Emil Jeřábek sostiene Monica l'

@ EmilJeřábek: sto pensando a come la maggior parte dei problemi di decisione di ⊕L si basano sulla verifica dei coefficienti individuali di problemi che sono naturali per DET (è comune parlare di problemi di funzione come ⊕L- completi, tuttavia un abuso di terminologia che è); e che la mia intuizione per i prodotti a matrice è che è sufficientemente complicato che è difficile organizzare ad-hoc, per ogni singolo coefficiente, che due prodotti a matrice dovrebbero essere uguali per quel coefficiente in modo tale da non poter essere abbastanza certi che anche tutti gli altri coefficienti saranno d'accordo.

— Niel de Beaudrap,

Ho capito: contare il fatto di accettare i percorsi di una macchina dello spazio di registro equivale a contare i percorsi in un grafico aciclico , che può essere rappresentato dalla moltiplicazione delle matrici triangolari superiori con 1 sulla diagonale. Quest'ultimo può essere facilmente espresso come prodotto di matrici elementari in modo esplicito, senza eliminazione gaussiana.

— Emil Jeřábek sostiene Monica l'

Cominciamo con il problema completo del conteggio di mod il numero di percorsi di lunghezza dal vertice al vertice in un grafico diretto . Applichiamo un paio di riduzioni dello spazio di log come segue. $\oplus L$ $2$ $n$ $s$ $t$ $G=(V,E)$

Sia il grafico in modo tale che ed $G'=(V',E')$ $V'=V\times\{0,\dots,n\}$ (cioè, prendiamo copie di ‘vertici s, bordi make vanno dalla esima copia al th copiare secondo bordi s', e aggiungi tutti i loop automatici). Quindi il problema originale equivale a contare percorsi di lunghezza da a $E'=\{((u,i),(v,i+1):i<n,(u,v)\in E\}\cup\{(w,w):w\in V'\}$ $n+1$ $G$ $i$ $(i+1)$ $G$ $n$ $s'=(s,0)$ $t'=(t,n)$ in . $G'$

Inoltre, è aciclico, e possiamo definire esplicitamente un censimento tale che tutti i bordi di a parte le auto-loop vanno da a per qualche . Senza perdita di generalità, e . Sia la matrice di adiacenza di $G'$ $V'=\{w_k:k\le m\}$ $G'$ $w_k$ $w_l$ $k<l$ $w_0=s'$ $w_m=t'$ $M$ $G'$ ha scritto l'enumerazione data. Quindi è una matrice intera triangolare superiore con sulla diagonale e il numero di percorsi di lunghezza da a uguale all'elemento in alto a destra di . $M$ $1$ $n$ $s'$ $t'$ $M^n$

È facile vedere che dove è la matrice elementare la cui unica voce non diagonale è in riga e colonna . In questo modo, abbiamo ridotto il problema originale al calcolo dell'elemento in alto a destra di un prodotto di matrici elementari. Nella

M = \prod_{j = m}^{1} \prod_{i = 0}^{j - 1} E_{i, j} (M_{i, j}),

$M=\prod_{j=m}^1\prod_{i=0}^{j-1}E_{i,j}(M_{i,j}),$

E_{i, j} (a)

$E_{i,j}(a)$

a

$a$

i

$i$

j

$j$

\oplus L

$\oplus L$ caso, il calcolo è modulo

, cioè consideriamo le matrici su

. (In questo caso, le matrici elementari possono essere solo

, che possiamo ignorare, ed

, che può essere simulato da una singola porta CNOT, come indicato nella domanda .) Se li consideriamo come matrici intere, otteniamo un problema

completo e se li consideriamo modulo

, otteniamo un problema

completo.

2

$2$

F_{2}

$\mathbb F_2$

E_{i, j} (0) = I

$E_{i,j}(0)=I$

E_{i, j} (1)

$E_{i,j}(1)$

# L

$\#L$

k

$k$

{M o d}_{k} L

$\mathrm{Mod}_kL$

— Emil Jeřábek sostiene Monica
fonte

Voglio dire, è

completo per matrici elementari con coefficienti interi non negativi . Con numeri interi arbitrari, è completo DET.

# L

$\#L$

— Emil Jeřábek sostiene Monica il

Quanto segue è probabilmente standard, ma non l'avevo mai visto esplicitamente prima: per mostrare che trovare il numero di percorsi di lunghezza esattamente n in un digrafo (possibilmente ciclico) è ⊕L completo , si noti che questo equivale a coefficienti di calcolo di alcuni potenza di una matrice arbitraria su

, che è ⊕L completa . Questa risposta è quindi essenzialmente come una riduzione dall'alimentazione della matrice (usando una costruzione standard di M come una matrice a blocchi composta solo da copie della matrice di adiacenza arbitraria di G nei blocchi off-diagonali superiori e 1 sulla diagonale) ai circuiti CNOT . Bella risposta!

F_{2}

$\mathbb F_2$

— Niel de Beaudrap,

Non è necessario passare attraverso il potenziamento della matrice, la cui completezza ⊕L è più difficile da dimostrare. ⊕L si definisce contando mod 2 i percorsi di accettazione di uno spazio log log non deterministico (con presunto tempo polinomiale, presumo, in modo che il numero sia garantito per essere finito), che equivale a contare i percorsi nel grafico di configurazione del macchina (è facile disporre che i percorsi terminino tutti nella stessa configurazione e che i percorsi abbiano la stessa lunghezza, facendo andare la macchina in un ciclo fino alla scadenza del suo orologio e quindi in uno stato di accettazione fisso).

— Emil Jeřábek sostiene Monica il

Suppongo che dal concentrarsi sulle idee nel documento Struttura e importanza delle classi Logspace-MOD di Buntrock et al. , Sono diventato molto più abituato a pensare in termini di numero di percorsi di lunghezza arbitraria in un digrafo aciclico e problemi simili al DET come prodotti a matrice e poteri che sono naturalmente collegati ad esso.

— Niel de Beaudrap,