Una domanda alla prova completa # P del permanente di Ben-Dor / Halevi

Nel documento di Ben-Dor / Halevi [1] viene fornita un'altra prova che il permanente è P-completo. Nella parte successiva del documento, mostrano la catena di riduzione mentre il valore permanente è conservato lungo la catena. Dal momento che il numero di assegnazioni satiesfying di una formula 3SAT può essere ottenuto dal valore permanente, è sufficiente calcolare il permanente della matrice finale . Fin qui tutto bene.$\#P$

Tuttavia, è ben noto che il permanente di una matrice è uguale al numero di corrispondenze perfette nella doppia copertina b bipartita , ovvero il grafico della matrice . E questo numero può essere calcolato in modo efficiente se risulta essere planare (usando l'algoritmo di Kastelyens).$0/1$$\text{A}$$G$$\begin{pmatrix} 0 & \text{A} \\ \text{A}^t & 0 \end{pmatrix}$$G$

Quindi, in totale, ciò significa che qualcuno potrebbe calcolare il numero di compiti satiesfying di una formula booleana se il grafico finale è planare.$\Phi$$G$

Poiché l'incorporamento di dipende fortemente dalla formula , la speranza è che esistano alcune formule che conducono più spesso nelle coperture planari bipartite. Qualcuno sa se è mai stato studiato quanto è grande la probabilità che sia planare?Φ $G$$\Phi$$G$

Poiché il conteggio delle soluzioni soddisfacenti è completo di # , i grafici saranno sicuramente quasi sempre non planari, ma non riesco a trovare alcun suggerimento su questo argomento.$\#P$

[1] Amir Ben-Dor e Shai Halevi. Zero-one permanente è # p-complete, una prova più semplice. Nel 2 ° Simposio israeliano sulla teoria dei sistemi informatici, pagine 108-117, 1993. Natanya, Israele.

Questo argomento è stato ampiamente studiato negli ultimi anni sotto il nome di algoritmi olografici da ricercatori come Valiant, Cai, Lu, Xia, Lipton e altri. Essenzialmente tutti i casi trattabili di #CSP (conteggio dei problemi di soddisfazione dei vincoli) sono stati identificati in termini di teoremi di dicotomia (FP vs. # P-complete). In particolare, i calcoli di Matchgate sono stati identificati come la classe specifica di problemi di conteggio che diventano tracciabili su grafici planari . Vedi ad esempio questo link per ulteriori riferimenti.

Normalmente un problema #CSP non ponderato è definito da un insieme di relazioni e l'input al problema #CSP ( Γ ) è una formula Φ .$\Gamma$$\Gamma$$\Phi$

Se contiene solo relazioni di arità al massimo 1, allora ogni possibile input Φ corrisponde a un grafico con grafici stellari disgiunti, che è planare. Inoltre, se Γ contiene una relazione di arity 2 o più, allora è facile costruire istanze che non sono planari. (Pensa alle variabili come ai vertici di un grafico e ai vincoli binari come agli spigoli tra questi vertici delle variabili. Anche l'arità superiore contiene lavoro. In questo modo, è possibile costruire qualsiasi grafico, almeno come un sottografo di un altro grafico.)$\Gamma$$\Phi$$\Gamma$

In constrast, stai ignorando e chiedendo direttamente quale Φ porti a grafici planari. Tuttavia, ogni Φ definisce un grafico (unico). Non vi è alcuna incertezza come suggerisci in questo paragrafo:$\Gamma$$\Phi$$\Phi$

Poiché l'incorporamento di dipende fortemente dalla formula Φ , la speranza è che esistano alcune formule che conducono più spesso nelle coperture planari bipartite. Qualcuno sa se è mai stato studiato quanto è grande la probabilità che G sia planare?$G$$\Phi$$G$