Problemi aperti alle frontiere del TCS

Nel thread Principali problemi irrisolti in informatica teorica? , Iddo Tzameret ha fatto il seguente eccellente commento:

Penso che dovremmo distinguere tra i maggiori problemi aperti che sono visti come problemi fondamentali, come $P\neq NP$ , e i principali problemi aperti che costituiranno una svolta tecnica, se risolti, ma non sono necessariamente fondamentali, ad esempio limiti inferiori esponenziali su $AC^0(6)$ circuiti (cioè gate). Quindi dovremmo eventualmente aprire una nuova wiki della comunità intitolata "problemi aperti alle frontiere del TCS", o simili.$AC^0+\mod 6$

Dato che Iddo non ha avviato la discussione, ho pensato di iniziare questa discussione.

Spesso i principali problemi aperti dei campi sono noti ai ricercatori che lavorano in settori correlati, ma il punto in cui la ricerca attuale è bloccata è sconosciuto agli estranei. L'esempio citato è buono. Come outsider, è chiaro che uno dei maggiori problemi nella complessità dei circuiti è dimostrare che NP richiede circuiti di dimensioni super-polinomiali. Ma gli estranei potrebbero non essere consapevoli del fatto che l'attuale punto in cui siamo bloccati sta cercando di dimostrare limiti inferiori esponenziali per i circuiti AC ⁰ con porte mod 6. (Naturalmente potrebbero esserci altri problemi di complessità del circuito di simile difficoltà che descrivono dove siamo bloccati. Questo non è unico.) Un altro esempio è quello di mostrare limiti inferiori di spazio-tempo per SAT meglio di n ^1.801 .

Questo thread è per esempi come questo. Dal momento che è difficile caratterizzare tali problemi, fornirò solo alcuni esempi di proprietà che tali problemi possiedono:

1. Spesso non saranno i grandi problemi aperti del campo, ma saranno una grande svolta se risolti.
2. Di solito non è incredibilmente difficile, nel senso che se qualcuno ti dicesse che il problema è stato risolto ieri, questo non sarebbe troppo difficile da credere.
3. Questi problemi spesso hanno anche numeri o costanti che non sono fondamentali, ma sorgono perché questo accade dove siamo bloccati.
4. Il problema alle frontiere di un determinato campo continuerà a cambiare di volta in volta, al contrario del più grande problema nel campo, che rimarrà lo stesso per molti anni.
5. Spesso questi problemi sono i problemi più semplici ancora aperti. Ad esempio, non abbiamo neanche limiti inferiori esponenziali per AC ¹ , ma poiché [6] è incluso in quella classe, è formalmente più facile mostrare limiti inferiori per [6], e quindi è a l'attuale frontiera della complessità del circuito. A C $AC^0$$AC^0$

Si prega di inviare un esempio per risposta; si applicano convenzioni standard big list e CW. Se qualcuno può spiegare quali tipi di problemi stiamo cercando meglio di me, non esitare a modificare questo post e apportare le modifiche appropriate.

EDIT: Kaveh ha suggerito che le risposte includano anche una spiegazione del perché un determinato problema è alla frontiera. Ad esempio, perché stiamo cercando limiti inferiori rispetto a AC ⁰ [6] e non a AC ⁰ [3]? La risposta è che abbiamo limiti inferiori rispetto a AC ⁰ [3]. Ma allora la domanda ovvia è perché questi metodi falliscono per AC ⁰ [6]. Sarebbe bello se le risposte potessero spiegare anche questo.

Eccone tre nella ricerca di percorsi più brevi:

O ( n + m log w $1$ . Esiste un algoritmo di tempo lineare per i percorsi più brevi a sorgente singola nei grafici diretti con pesi non negativi, almeno nel modello di calcolo word-RAM? Si noti che esiste un algoritmo di tempo lineare per i grafici non indirizzati (vedere l'articolo di Thorup). Sulla base di ciò, Hagerup ha un tempo di esecuzione di per i grafici diretti con pesi limitati da . Esiste un algoritmo più veloce?$O(n+m\log w)$$2^w$

O ( n ω n ) ω < 2.376 O ( n 2.575 ) O ( n ω n $2$ . Esiste un algoritmo polylog per tutte le coppie percorsi più brevi nei grafici diretti non ponderati? ( è l'esponente della moltiplicazione di matrici) L'attuale miglior runtime è di Zwick, e per i grafici non indirizzati il ​​problema può essere risolto in polylog .$O(n^\omega$$n)$$\omega<2.376$$O(n^{2.575})$$O(n^\omega$$n)$

(I problemi diretti sono effettivamente più difficili?)

O ( n 2.9 ) n 0 , … , $3$ . Esiste un algoritmo per tutte le coppie percorsi più brevi nei grafici -node con pesi in { }? Oppure, c'è una riduzione dal problema generale dei percorsi più brevi a questa restrizione?$O(n^{2.9})$$n$$0,\ldots,n$

Questo è già menzionato nella domanda:

Aperto:

Separare da ( circuiti di profondità 2). A C 0 2 [ 6 ] A C 0 [ 6 $EXP^{NP}$$AC^0_2[6]$$AC^0[6]$(vedi l'aggiornamento sotto)

[Novembre 11, 2010] separato da . Separare da .A C 0 2 [ 6 ] E X P N P T C $EXP$$AC^0_2[6]$$EXP^{NP}$$TC^0$

Conosciuto:

1. [Alexander Razborov 1987 - Roman Smolensky 1987] non è in se è un numero primo e non è un potere di . A C 0 [ p k ] p m $MOD_m$$AC^0[p^k]$$p$$m$$p$

2. [Arkadev Chattopadhyay e Avi Wigderson 2009] Sia m, q essere numeri primi co-primi in modo tale che m sia privo di quadrati e abbia al massimo due fattori primi. Sia C qualsiasi circuito di tipo G A N D O R M O D m M O D q 2 Ω ( n $MAJoGoMOD^A_m$ dove è una porta o e le porte alla base hanno insiemi di accettazione arbitrari. Se C calcola il fan-in superiore, e quindi la dimensione del circuito, deve essere .$G$$AND$$OR$$MOD_m$$MOD_q$$2^{{\Omega(n)}}$

Il risultato successivo si basa sull'ottenimento di un limite di correlazione esponenzialmente piccolo della funzione con i sottocircuiti di profondità 2 e la stima di somme esponenziali che coinvolgono polinomi di basso grado.$MOD_q$

Ostacoli:?

Aggiornamento [novembre 10, 2010]

Un articolo di Ryan Williams sembra aver risolto questo problema aperto usando metodi che sembrano essere sostanzialmente diversi da quelli sopra menzionati:

[Ryan Williams 2010] non ha circuiti non uniformi di dimensione . A C C 0 2 n o ( 1 $E^{NP}$$ACC^0$$2^{n^{o(1)}}$

Riferimenti:

• AA Razborov. Limiti inferiori delle dimensioni delle reti a profondità limitata su una base completa con aggiunta logica (russo), in Matematicheskie Zametki, 41 (4): 598–607, 1987. Traduzione inglese in Note matematiche dell'Accademia delle scienze dell'URSS, 41 (4): 333–338, 1987.

• R. Smolensky. Metodi algebrici nella teoria dei limiti inferiori per la complessità del circuito booleano. In STOC, pagine 77–82. ACM, 1987.

• Arkadev Chattopadhyay e Avi Wigderson. Sistemi lineari su moduli compositi , FOCS 2009

• Ryan Williams. Limiti inferiori del circuito ACC non uniforme , 2010, bozza (inviata?).

Sia CNF-SAT il problema di determinare se una determinata formula CNF è soddisfacente (nessuna restrizione sull'ampiezza delle clausole).

CNF-SAT su variabili e clausole risolvibili in , per alcunim 2 δ n p o l y ( m ) δ < $n$$m$$2^{\delta n} poly(m)$$\delta < 1$ ?

Questo è un noto problema aperto nell'area degli "algoritmi più veloci per NP". Non credo che abbia raggiunto lo status di "grave problema aperto", ma ha attirato un po 'di attenzione. Gli algoritmi più noti vengono eseguiti in tempo (ad es. Qui ).$2^{n-\Omega(n/\log (m/n))}$

Correlato all'ipotesi del tempo esponenziale (che 3SAT non è in tempo esponenziale ), esiste anche una "Ipotesi del tempo esponenziale forte" che il tempo di esecuzione ottimale per -SAT converge a come2 n k → $k$$2^{n}$$k \rightarrow \infty$ . Una conseguenza di Strong-ETH sarebbe che la risposta alla domanda di cui sopra è no. Diverse ipotesi plausibili implicano che la risposta è sì , ma chi lo sa.

Penso che sia uno di quei problemi che sembrano probabilmente "risolti" in entrambi i casi: o mostreremo una risposta sì o mostreremo che una risposta sì implica qualcosa di molto importante. Nel primo caso, avremo la soddisfazione di risolvere il problema, nel secondo caso la domanda sarà elevata a quella di un "grave problema aperto" ... una mancata risposta implica , e una risposta affermativa implica qualcosa di molto importante. :)$P \neq NP$

La questione se gli alberi decisionali siano apprendibili dal PAC sembra essere alla frontiera della teoria dell'apprendimento computazionale.

APERTO

Gli alberi decisionali (DT) sono apprendibili sotto la distribuzione uniforme su esempi (o in generale)?

CONOSCIUTO

• I DT non sono apprendibili sotto la distribuzione uniforme con Statistical Queries (SQs) [ Blum et al. '94 ]
• DT casuali sono apprendibili sotto la distribuzione uniforme [ Jackson, Servedio '05 ]
• DT monotone sono apprendibili sotto la distribuzione uniforme [ O'Donnell, Servedio '06 ]
• un'analisi uniforme per l'apprendimento dei DT sotto la distribuzione uniforme [ Kalai, Teng '08 ]

La ragione per cui questo è un problema interessante e importante è che gli alberi decisionali sono una classe molto naturale e, diversamente dagli automi, ad esempio, non abbiamo risultati sulla durezza crittografica che rendono il problema senza speranza. I progressi su questa domanda possono forse fornire indicazioni sul fatto che i DT (e classi simili) siano apprendibili senza ipotesi distributive. Ciò potrebbe avere un impatto pratico oltre ad essere una svolta teorica.

Anche questo problema sembra essere stato affrontato da tutte le parti. Sappiamo che sotto la distribuzione uniforme degli esempi: gli alberi decisionali monotoni sono apprendibili, che gli alberi decisionali casuali sono apprendibili e che esiste anche un'analisi regolare. Sappiamo anche che un algoritmo SQ non risolverà questo problema. E ci sono anche progressi costanti in questo settore. D'altra parte, questo è un problema difficile che è stato aperto per un po ', quindi questo sembra adattarsi al conto di "Problemi aperti alle frontiere del TCS".

Nota che ci sono altri risultati sui quali non ho approfondito la durezza dei DT di apprendimento corretti, la capacità di apprendere DT con domande e la durezza di apprendere anche DT casuali con SQ.

APERTO:

Mostra un limite inferiore nel modello di sonda cella per un problema esplicito di strutture di dati statici, che dimostra che in base a una restrizione di spazio "ragionevole" (ad es. Che lo spazio è polinomiale nella dimensione dell'input), il tempo di query deve essere almeno T, dove T è maggiore di log | Q |, dove Q è l'insieme di query. Questo è chiamato "log | Q | -barrier" (o talvolta, in modo un po 'errato, "logn-barrier").

CONOSCIUTO:

1. limiti inferiori superiori a log | Q | per un problema implicito (vedi il sondaggio di Miltersen )

2. limiti inferiori superiori a log | Q | con limiti di spazio estremi (ad es. limiti inferiori succinti)

3. limiti inferiori superiori a log | Q | per problemi dinamici (dove intendo che se il tempo di aggiornamento è molto piccolo, il tempo di query deve essere molto grande, o viceversa; vedere ad esempio il limite inferiore di Patrascu per la somma parziale)

4. Limiti inferiori nei modelli con restrizioni, ad esempio macchine puntatore, modello di confronto, ecc

5. limiti inferiori che interrompono il registro | Q | la barriera non può essere dimostrata dal tipo standard di riduzione della complessità della comunicazione, perché Alice può semplicemente inviare la query stessa, che accetta solo il log | Q | bit ed è quindi facile verificare che la riduzione non darà mai un limite inferiore migliore di questo. Pertanto, è necessario utilizzare un "nativo" associato al modello di sonda cellulare o utilizzare una riduzione più intelligente della complessità della comunicazione.

Nelle classi di complessità di basso livello, c'è un problema interessante riguardo alla caratterizzazione di $\mathsf{NL}$ .

APERTO:

Mostra che se è uguale a U L .$\mathsf{NL}$$\mathsf{UL}$

, lospazio di log non ambiguo, è la classe costituita da problemi che possono essere risolti da una macchina N L con vincolo aggiuntivo che esiste al massimo un percorso di calcolo accettabile.$\mathsf{UL}$$\mathsf{NL}$

CONOSCIUTO:

• In circostanze non uniformi , . [RA00]$\mathsf{NL/poly} = \mathsf{UL/poly}$
• Sotto ipotesi plausibili durezza ( richiede circuiti formato esponenziale), il risultato di [RA00] può essere derandomized mostrare che N L = U L . [ARZ99]$\mathsf{SPACE}(n)$$\mathsf{NL} = \mathsf{UL}$
• Raggiungibilità su grafici 3-page è completa per . [PTV10]$\mathsf{NL}$
• Raggiungibilità su grafi 2 pagine è risolvibile per .$\mathsf{UL}$[BTV09]
• Se , quindi F N L ⊆ ♯ L . [AJ93]$\mathsf{NL} = \mathsf{UL}$$\mathsf{FNL} \subseteq \mathsf{\sharp L}$

SCONOSCIUTO:

• Una classe intermedia , definita come problemi risolvibili da una macchina N L con al massimo polinomialmente molti percorsi di calcolo accettabili, si trova tra N L e U $\mathsf{FewL}$$\mathsf{NL}$$\mathsf{NL}$$\mathsf{UL}$ . Non sono noti crolli.
• È noto che dal famoso teorema di Immerman-Szelepcsényi, mentre se U L è chiuso sotto complemento è ancora aperto.$\mathsf{NL} = \mathsf{coNL}$$\mathsf{UL}$

Alcuni problemi di apertura del PCP:

• La congettura della scala mobile. In PCP vogliamo che l'errore del verificatore sia il più piccolo possibile. BGLR ipotizza che l'errore possa arrivare fino a dove r è la casualità (c'è chiaramente un limite inferiore di 2 - r ). Il prezzo da pagare per ridurre l'errore non fa che aumentare l'alfabeto in modo appropriato.$2^{-\Theta(r)}$$r$$2^{-r}$

Più formalmente: la congettura è che esiste un ac, tale che per tutto il r naturale, per tutto , c'è un verificatore PCP che usa la casualità r per fare due domande alla sua prova, ha una perfetta completezza ed errore di solidità ε . L'alfabeto della dimostrazione dipende solo da 1 / ε .$\varepsilon \geq 2^{-cr}$$\varepsilon$$1/\varepsilon$

Per due query, l'errore più noto è per alcuni β > 0 specifici (M-Raz, 2008). Si può anche ottenere l'errore 2 - r α per qualsiasi α < 1 , con un numero di query che dipende da α (DFKRS).$1/r^{\beta}$$\beta>0$$2^{-r^{\alpha}}$$\alpha <1$$\alpha$

Si ricercano anche limiti inferiori su c (cioè algoritmi di approssimazione).

Vedi il sondaggio di Irit Dinur per maggiori dettagli.

• PCP a lunghezza lineare. Esistono codici di correzione errori ad alta distanza con lunghezza lineare. Esiste un PCP con lunghezza lineare?

In particolare, vogliamo un verificatore per la soddisfacibilità di una formula SAT che ha un numero costante di query, alfabeto costante ed errore costante e accede a una prova di lunghezza lineare nella lunghezza della formula? Questo è aperto anche per errore vicino a 1 (ma migliore del banale ), alfabeto sub-esponenziale e numero sub-lineare di query.$1-1/n$

La lunghezza più nota è per errore costante e n ⋅ 2 ( l o g n ) 1 - β per errore subcorrente.$n polylog n$$n \cdot 2^{(log n)^{1-\beta}}$

Dimostra che per ogni , esiste una lingua in E N P che non ha circuiti (non uniformi) con fili c n . Ricordiamo che E = ⋃ k ≥ 1 T I M E [ 2 k n ] . Cioè, dimostrare limiti superlineari circuito inferiore per un tempo esponenziale con accesso a un N P oracolo.$c > 0$$E^{NP}$$c n$$E = \bigcup_{k \geq 1} TIME[2^{k n}]$$NP$

$(q,\delta,\epsilon)$$C: \mathbb{F}^m \to \mathbb{F}^n$$A$$i \in [m]$$y \in \mathbb{F}^n$$C(x)$$x \in \mathbb{F}^m$$\delta$$q$$y$$x_i$$1/|\mathbb{F}| + \epsilon$$\mathbb{F}$$C$$\mathbb{F}$

$q=2$$\delta,\epsilon$$2$$n = \exp(m)$$q=2$$q=3$$3$$n=\exp(\exp(\sqrt{\log m \log \log m})) = 2^{m^{o(1)}}$$\Omega(m^2)$$3$$\Omega(m^2/\log m)$$3$

Qual è il più grande divario possibile tra complessità quantistica deterministica e (errore fronte-retro) per le funzioni totali?

Aperto:

Esiste una funzione totale la cui complessità di query quantistica è T e la complessità di query deterministica è ω (T ² )?

Esiste una funzione totale la cui complessità di query quantistica è T e la complessità di query deterministica è ω (T ⁴ )?

$o(T^6)$

Conosciuto:

$O(T^6)$

Il più grande gap noto è raggiunto dalla funzione OR, che ottiene un gap quadratico.

Aggiornamento (21 giugno 2015) : ora conosciamo una funzione che consente una separazione quartica (4a potenza). Vedi http://arxiv.org/abs/1506.04719 .

Si presume che la funzione OR raggiunga il massimo gap possibile.

Secondo il suggerimento di Ashley, vorrei aggiungere lo stesso problema per il calcolo esatto.

Aperto:

$\omega(T)$

Conosciuto:

$O(T^3)$

Il divario più noto è un fattore 2.

Aggiornamento (5 novembre 2012) : questo è stato migliorato nel vantaggio Superlineare per gli algoritmi quantistici esatti di Andris Ambainis . Dall'abstract: "Presentiamo il primo esempio di una funzione booleana f (x_1, ..., x_N) per la quale gli algoritmi quantistici esatti hanno un vantaggio superlineare rispetto agli algoritmi deterministici. Qualsiasi algoritmo deterministico che calcola la nostra funzione deve usare N query ma un l'esatto algoritmo quantistico può calcolarlo con query O (N ^ {0.8675 ...}). "

Esistono una serie di problemi aperti nella complessità della prova, ne citerò solo uno che rimane aperto anche dopo che alcuni esperti hanno trascorso anni nel tentativo di risolverlo. È la versione della complessità della prova dello stato nella complessità del circuito. (Vedi [Segerlind07] se vuoi vedere più problemi aperti nella complessità della prova.)

Aperto

$AC^0[2]$

$AC^0[2]$$CG_2$$AC^0[2]$$AC^0$$\bmod 2$

Conosciuto

1. $AC^0$$PHP^{n+1}_{n}$$n+1$$n$$AC^0$$CA_p$$\bmod p$$AC^0$$CA_m$ non sono limitati polinomialmente.

2. $AC^0[2]$

Riferimenti:

• Nathan Segerlind, "La complessità delle prove proposizionali", Bollettino della logica simbolica 13 (4), 2007

Aperto:

Mostra una separazione dell'oracolo tra QIP (2) e AM. Cioè, mostrano un problema in QIP (2) ^A che non è in AM ^A .

Il grosso problema aperto è mostrare una separazione degli oracoli tra BQP e PH. Ma non abbiamo nemmeno una separazione tra BQP e AM (dal momento che AM è in PH, questo dovrebbe essere più facile). Ancora peggio, rendi BQP considerevolmente più potente permettendo 1 round di interazioni con Merlin, dandoti la classe QAM o QIP (2) (a seconda delle monete pubbliche o private) e non abbiamo ancora una separazione.

Conosciuto:

La separazione più nota è tra BQP e MA, che deriva da questo articolo di John Watrous . Per le classi di complessità che non sono classi con problemi di decisione, vedere questi risultati di Scott Aaronson .

Non sono sicuro che appartenga alla classe dei problemi aperti alla frontiera o ai maggiori problemi aperti, quindi i commenti sono ben accetti.

Aperto:

$\mathsf{NP} = \mathsf{UP}$$\mathsf{PH}$

$\mathsf{UP}$

• esiste al massimo un percorso di calcolo accettabile su qualsiasi input.

Questo problema è stato dichiarato nel blog sulla complessità nel 2003.

Conosciuto:

Un risultato di Hemaspaandra, Naik, Ogiwara e Selman mostra che se la seguente affermazione è valida, la gerarchia polinomiale crolla al secondo livello.

• $\mathsf{NP}$$L$$\phi$$x$$(\phi,x)$$L$

Sconosciuto:

Eventuali crolli o separazioni improbabili.

Articoli correlati: Altre informazioni sulle classi sintattiche vs semantiche e UP contro NP .