Problema algoritmico vettoriale

Ho un problema algebrico legato ai vettori nel campo GF (2). Sia $v_1, v_2, \ldots, v_m$ essere (0,1) -vettori della dimensione $n$ , e $m=n^{O(1)}$ . Trova un algoritmo temporale polinomiale che trova un (0,1) -vettore $u$ della stessa dimensione in modo tale che $u$ non sia la somma di qualsiasi $(\log n)^{O(1)}$ vettori tra $v_1,v_2, \ldots, v_m$ . L'aggiunta di vettori è sopra il campo GF (2), che ha due elementi 0 e 1 (e ). $0+1=0+1=1$ $0+0=1+1=0$

È facile vedere l'esistenza di un tale vettore con un semplice argomento di conteggio. Possiamo trovare $u$ in un tempo polinomiale? E 'banale di trovare $u$ in tempo esponenziale. Invierò un assegno di $ 200 per la prima soluzione corretta.

ds.algorithms linear-algebra

— Bin Fu
fonte

sembra vagamente correlato al problema della somma dei sottogruppi che è NP completo. tuttavia, utilizza la somma intera intera anziché XOR.

— vzn

stranamente di recente ho cercato di formulare e guardare un problema simile. prova sec13.5 del libro stasys jukna sulla complessità della funzione booleana. sembra che il tuo q possa essere formulato in termini di circuiti lineari in quel capitolo.

— vzn

che ne dite di algoritmi super-poli, cioè m ^ log (n)?

— Dimitris,

@Niel de Beaudrap: ma il numero di XOR che devi controllare è super-poli (cioè approssimativamente

), non poli. Non è un problema?

(\binom{m}{\log (n)})

${{m}\choose{\log(n)}}$

— Dimitris,

Per estendere l'osservazione di vzn: sembrerebbe che quasi ogni vettore soddisfi i tuoi requisiti, con lo stesso argomento di conteggio. Immagino che ti piacerebbe anche una prova che un vettore (forse generato casualmente) non sia contenuto in alcun sottospazio espanso dal pollog ( n ) dei vettori: quindi la tua domanda equivale a dimostrare che il problema di determinare se un candidato è o meno il vettore u non appartiene a un sottospazio generato da una dimensione f ( n ) ∈ il polilogo ( n ) dei vettori

è in NP .

v_{j}

$\mathbf v_j$

— Niel de Beaudrap,

Sembra che ci sia un refuso; Suppongo che intendi trovare che non è la somma di vettori tra (non ). $u \in \{0,1\}^n$ $(\log n)^{O(1)}$ $v_1,\dots, v_m$ $n$

Non mi è chiaro se una costante in funzioni per te. Se è possibile accontentarsi di somme inferiori a vettori forse c'è qualcosa da fare. Ma se vuoi che questa quantità sia , allora penso che sia piuttosto difficile (ho lavorato su questo problema per molto tempo). $(\log n)^{O(1)}$ $\log m$ $(\log m)^{1+\delta}$

Tuttavia potresti essere interessato a sapere che si tratta di un'istanza del problema dei punti remoti di Alon, Panigrahy e Yekhanin ("Algoritmi di approssimazione deterministica per il problema della parola chiave più vicina") per determinati parametri. Lascia che e siano le colonne della matrice di controllo di parità di un codice lineare in di dimensione (se questa matrice non aveva il rango completo, il il problema sarebbe banale). Quindi il tuo problema equivale a $m > n$ $v_1,\dots,v_m$ $\{0,1\}^m$ $d = m - n$ che è -lontano dal codice. Questa impostazione di parametri, in cui la dimensione è molto vicina a m, non è studiata nel documento. Tuttavia, possono solo raggiungere lontananza fino alla dimensione per una costante . In realtà, non penso di conoscere alcun certificato di dimensioni polinomiali che ci consenta didimostrareche un vettore è più di -lontano da uno spazio di dimensione $u \in \{0,1\}^n$ $(\log n)^{O(1)}$ $\log m$ $d = cm$ $c$ $\omega(\log m)$ $\Omega(m)$ , figuriamoci trovarlo.

Un'altra connessione è con l'apprendimento delle parità nel modello legato agli errori. Se uno può imparare in modo efficiente -parities (definito su ) con errore associato strettamente inferiore a , allora si possono impostare valori arbitrari sui primi bit di e `` force un errore '' sull'ultimo bit impostandolo sul valore opposto a quello previsto dallo studente. Questo sembra molto più forte però. $(\log n)^{O(1)}$ ${0,1}^m$ $n$ $n - 1$ $u$

Il problema è anche correlato alla separazione di EXP da alcune riduzioni a serie sparse.

— david
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Grazie per aver segnalato l'errore di battitura. L'ultimo "v_n" dovrebbe essere "v_m". Spero che qualcuno lo risolva. La tua risposta contiene informazioni utili. +1

— Bin Fu,