Quanto è grande la varianza della larghezza dell'albero di un grafico casuale in G (n, p)?

Sto cercando di trovare come vicino e sono davvero, quando e è una costante non è dipendente da n (così ). La mia stima è che $tw(G)$ $E[tw(G)]$ $G \in G(n,p=c/n)$ $c>1$ $E[tw(G)] = \Theta(n)$ whp, ma non sono stato in grado di dimostrarlo. $tw(G) \leq E[tw(G)] + o(n)$

— Kostas
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Qual è la motivazione per la domanda? (vale a dire perché sono interessati a questo problema?)

— Kaveh

Beh ... mi chiedevo quanto la conoscenza di alcuni spigoli possa influenzare la larghezza dell'albero stimata (la conoscenza dell'esistenza di ogni spigolo può influenzare la larghezza dell'albero al massimo di uno), e questo mi ha portato a questa domanda (che è molto di più interessante)

— Kostas

In particolare, ciò ha implicazioni per i limiti superiori del conteggio dei modelli nel regime soddisfacente per istanze casuali di SAT (e quantum-SAT), nella fase di grafici casuali Erdos-Renyi con un grande componente connesso. Nella misura in cui ci preoccupiamo della SAT casuale come argomento di informatica teorica e anche di approcci che coinvolgono la larghezza degli alberi per limitare la complessità di #SAT e problemi simili, questa domanda è ben motivata.

— Niel de Beaudrap il

Non è necessario calcolare la varianza per dimostrare la concentrazione di tw (G (n, p)) attorno alle sue aspettative. Se due grafici G 'e G differiscono di un vertice, la loro larghezza dell'albero differisce al massimo di uno. È possibile utilizzare il metodo standard, la disuguaglianza di Hoeffding-Azuma applicata alla martingala di esposizione del vertice per mostrare, ad esempio,

, $\mathbb{P}( | tw(G(n,p)) - \mathbb{E} tw(G(n,p))| > t) \le 3 e^{- t^2/(2 n)}$

$t = n^{0.51}$

$G(n,p)$

— Valentas
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