Esecuzione di un algoritmo BPP con una stringa metà casuale e metà contraddittoria

Considera il seguente modello: una stringa n-bit r = r ₁ ... r _n viene scelta in modo uniforme a caso. Successivamente, ciascun indice i∈ {1, ..., n} viene inserito in un insieme A con probabilità indipendente 1/2. Infine, un avversario è permesso, per ciascun i∈A separatamente, per r capovolgere _i se vuole.

La mia domanda è questa: la stringa risultante (chiamala r ') può essere utilizzata da un algoritmo RP o BPP come unica fonte di casualità? Supponiamo che l'avversario conosca in anticipo l'intero algoritmo BPP, la stringa r e l'insieme A e che abbia un tempo di calcolo illimitato. Supponi anche (ovviamente) che l'algoritmo BPP non conosca né le decisioni di inversione dell'avversario né A.

Sono ben consapevole che esiste una lunga serie di lavori proprio su questo tipo di domanda, dal lavoro di Umesh Vazirani su fonti semi-casuali (un modello diverso ma correlato), a lavori più recenti su estrattori, fusioni e condensatori. Quindi la mia domanda è semplicemente se qualcuno di quei lavori produce ciò che voglio! La letteratura sulle fonti casuali deboli è così ampia, con così tanti modelli sottilmente diversi, che qualcuno che sa che la letteratura può probabilmente risparmiarmi molto tempo. Grazie in anticipo!

Ciò di cui hai bisogno è un "estrattore seeded" con i seguenti parametri: seed di lunghezza , casualità grezza n / 2 e lunghezza di output n Ω ( 1 ) . Questi sono noti. Anche se non sono aggiornato con i sondaggi più recenti, credo che la sezione 3 del sondaggio di Ronen sia sufficiente.$O(\log n)$$n/2$$n^{\Omega(1)}$

$2^{-n/2}$

All'avversario è permesso vedere l'intera stringa r prima di decidere come impostare i bit in A? Se la risposta è no, si tratta di una fonte di correzione dei bit, che è effettivamente estraibile in modo deterministico. Cioè, nessun seme veramente casuale richiesto. Vedi, ad esempio, Kamp e Zuckerman per le costruzioni di estrattori per fonti di fissaggio dei bit.

Se l'avversario è autorizzato a vedere il resto della stringa, indovinerei comunque che è deterministicamente estraibile, ma i modelli sono leggermente diversi e non so come si relazionano. Poiché l'insieme A è casuale, in realtà è persino più amichevole di una sorgente di correzione dei bit, dove l'insieme A può essere arbitrario.

Noam ha ragione, ovviamente. Storicamente, la mia prima simulazione di BPP con una fonte di qualsiasi tasso di entropia costante è stata data nel mio articolo "Simulazione di BPP usando una fonte casuale debole generale". Ora ci sono modi più semplici per ottenere questo risultato e risultati ancora più forti.

L'estrazione deterministica di più di un numero costante di bit è impossibile nel tuo modello. (È possibile ottenere un'estrazione deterministica debole di 1 bit semplicemente emettendo il primo bit.) Kamp e io abbiamo dimostrato che è impossibile estrarre più di un numero costante di bit in una fonte generale non ignara di fissazione di bit con velocità di entropia costante, ma poiché l'insieme A è casuale, questi risultati non si applicano come indicato. Tuttavia, la nostra dimostrazione ha funzionato scegliendo A a caso di una dimensione fissa t, quindi scegliendo t = .6n, diciamo, seguirà il risultato per una A uniformemente casuale.