Grafici di decomposizione del genere uno

I grafici planari sono . Tali grafici possono essere scomposti in componenti tri-connessi, che sono noti per essere componenti planari o . $K_{3,3}$ $K_5$

Esiste una tale "bella" scomposizione dei grafici del genere uno?

Nel loro lavoro fondamentale sui minori grafici, Roberston e Seymour hanno mostrato che ogni grafico privo di minori può essere scomposto in una "somma-cricca" di grafici "quasi planari". Questo, ovviamente, si applica anche ai grafici del genere limitato. Sto cercando decomposizioni specifiche per i grafici del genere uno, per capire meglio le loro proprietà strutturali.

— Shiva Kintali
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Questo può essere utile: arxiv.org/abs/math/0411488

— Jeffε

Ah, grazie Jeff. Tangenzialmente correlato alla domanda, ero stato sconcertante su come incorporare

nel toro e non ero stato in grado di capirlo.

K_{7}

$K_7$

— John Moeller,

Esiste un risultato di decomposibilità più forte per le famiglie di grafici che escludono un grafico a incrocio singolo come minore (ovvero un grafico che può essere disegnato nel piano con un singolo punto in cui i bordi si incrociano). Tali grafici possono essere scomposti in cliques di grafici planari e grafici a larghezza di albero costante (vedere ad esempio "Algoritmi di approssimazione per classi di grafici che escludono i grafici a passaggio singolo come minori"). Se è presente un grafico a incrocio singolo nel set di ostruzioni per il toro, ciò potrebbe aiutarti. (Non sono sicuro che ci sia - e potrebbe esserci un semplice motivo per cui non ci può essere.)

— Bart Jansen,

C'è una semplice ragione per cui non può esserci un ostacolo di un passaggio alla toroidalità: ogni grafico a passaggio singolo può essere tracciato sul toro, sostituendo il passaggio con una piccola maniglia.

— David Eppstein,

Penso che Robertson e Seymour abbiano mostrato che ogni grafico privo di minori può essere scomposto in una "somma di cricca" di grafici di " genere quasi limitato ". I mattoni di base non sono grafici planari ma grafici del genere limitato (genere dipendente dal minore escluso). Penso che i grafici toroidali non siano più scomponibili.

— Marcin Kamiński
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