Problema di cricca su grafici fissi

Come sappiamo, la funzione -clique C L I Q U E ( n , k ) prende un sottografo ( spanning ) G ⊆ K n di un grafico n -vertex completo K n , e genera 1 sef G contiene un k -clique . Le variabili in questo caso corrispondono ai bordi di K n . È noto (Razborov, Alon-Boppana) che, per 3 ≤ k ≤ n /$k$$CLIQUE(n,k)$$G\subseteq K_n$$n$$K_n$$1$$G$$k$$K_n$$3\leq k\leq n/2$, questa funzione richiede circuiti monotoni di dimensioni circa . $n^k$

Ma cosa succede se prendiamo un grafico fisso , e consideriamo la funzione booleana monotona C L I Q U E ( G , k ) , che accetta un sottoinsieme S ⊆ [ n ] di vertici e genera 1 se alcuni k vertici in S formare una cricca in G . Le variabili in questo caso corrispondono ai vertici di K n , e la funzione è solo la funzione di cricca standard ma limitata allo spanning$G\subseteq K_n$$CLIQUE(G,k)$$S\subseteq [n]$$1$$k$$S$$G$$K_n$sottografi di uno fisso grafo .$G$

1. Esistono -vertex grafici G per i quali C L I Q U E ( G , k ) richiede circuiti monotoni di dimensioni maggiori di n O ( log n ) ? Immagino di no. $n$$G$$CLIQUE(G,k)$$n^{O(\log n)}$

2. Is un problema NP-difficile per una sequenza di grafici ( G n : n = 1 , 2 ... ) ? Immagino di no. $CLIQUE(G_n,k)$$(G_n\colon n=1,2\ldots)$

Si noti che se sono tutti cricche massimali in G , allora C L I Q U E ( G , k ) può essere calcolato come un OR di r threshold- k funzioni, l' i -esimo del quale verifica se | S a ∩ C i | ≥ k . Pertanto, se r = p o l y ( n $C_1,\ldots,C_r$$G$$CLIQUE(G,k)$$r$$k$$i$$|S_a\cap C_i|\geq k$$r=poly(n)$, quindi l'intero circuito è di dimensioni polinomiali. Ma che dire dei grafici con un numero esponenziale di cricche massime? (Una cricca è massima e non può essere aggiunto nessun vertice.)

È possibile "incorporare" in C L I Q U E ( H , k ) per un particolare grafico H su n = 2 m vertici. In particolare, Bollobas e Thomason (1981) hanno dimostrato che, se H è un grafico Hadamard i cui vertici sono sottoinsiemi di [ m ] , e due vertici u e v sono adiacenti iff $CLIQUE(m,k)$$CLIQUE(H,k)$$H$$n=2^m$$H$$[m]$$u$$v$è pari, quindi H contiene una copia isomorfa di ogni grafico G su m vertici. Questo fatto può essere combinato con il limite inferiore di Razborov (di circa m k ) per C L I Q U E ( m , k ) per concludere che C L I Q U E ( H , k ) richiede circuiti monotone di dimensioni circa m k ? Un potenziale problema qui è quello, anche se il grafico$|u\cap v|$$H$$G$$m$$m^k$$CLIQUE(m,k)$$CLIQUE(H,k)$$m^k$$H$"contiene" tutti i grafici -vertex, questi grafici non si trovano sullo stesso insieme di vertici. E l'argomento di Razborov richiede che gli input positivi e negativi ( k -cliques e complementi dei grafici a parti complete ( k - 1 ) ) siano grafici sullo stesso insieme di vertici. Inoltre, tutti gli input positivi ( k -cliques) sono solo copie isomorfe di uno e lo stesso k -clique fisso .$m$$k$$(k-1)$$k$ $k$

3. Qualche idea? Qualcuno ha visto questo tipo di problemi in considerazione? Voglio dire, problemi di decisione per i sottografi di un grafico fisso . O, per esempio, il problema SAT per i sotto-CNF di un CNF fisso (soddisfacente) (ottenuto rimuovendo alcuni valori letterali)?

Motivazione: problemi di questo tipo sono legati alla complessità degli algoritmi di ottimizzazione combinatoria. Ma sembrano essere interessanti in se stessi. Perché dovremmo cercare algoritmi efficienti su tutti i grafici? In realtà, di solito siamo interessati alle proprietà di piccoli pezzi di un (grande) grafico (rete di strade in un paese, o Facebook, o simili).

Nota 1: Se il grafico è bipartito , la matrice di incidenza del bordo del vertice delle disuguaglianze x u + x v ≤ 1 per tutti ( u , v ) ∉ E è totalmente unimodulare, e una può risolvere il problema della cricca sui sottografi indotti di G tramite programmazione lineare. Pertanto, per i grafici bipartiti G , C L I Q U E ( G , $G=(L\cup R,E)$$x_u+x_v\leq 1$$(u,v)\not\in E$$G$$G$ haun piccolo circuito (anche se non monotono). $CLIQUE(G,k)$

Nota 2: un'indicazione, nel caso dei grafici bipartiti , la risposta alla domanda 1 "dovrebbe" effettivamente essere NO è che il seguente gioco monotono di Karchmer-Wigderson su G necessita solo di bit O ( log n ) di comunicazione. Lasciare che k sia il maggior numero di vertici in un sottografo bipartito completo di G . Alice ottiene un set A di nodi rossi, Bob un set B di nodi blu tale che | A | + | B | > k . L'obiettivo è trovare un non-edge tra $G$$G$$O(\log n)$$k$$G$$A$$B$$|A|+|B|>k$$A$e .$B$

Abbiamo fatto alcune ricerche sul problema di dimostrare nella risoluzione ad albero se un grafico fisso ha una cricca di dimensione k (dove k è solitamente piccolo). In particolare abbiamo scoperto che per una grande classe di grafici sono necessarie confutazioni di dimensione n Ω ( k ) .$G$$k$$k$$n^{\Omega(k)}$

È possibile trovare la complessità parametrica cartacea delle procedure di ricerca DPLL a questo link .

Credo che questo documento possa rispondere alle tue domande: http://arxiv.org/abs/1204.6484

L'articolo definisce le famiglie di problemi 3SAT NP difficili, in modo tale che la struttura della formula sia fissa per ogni n, e l'input sia la polarità della formula.

Usando la riduzione standard da 3SAT a CLIQUE (ogni clausola 3CNF definisce un insieme di 8 possibili assegnazioni (o 7 assegnazioni soddisfacenti), con bordi tra assegnazioni non in conflitto), c'è un grafico tale che dopo aver rimosso un vertice per ogni clausola, è NP difficile trovare la cricca massima (o addirittura per approssimarne le dimensioni, usando prodotti grafici o prodotti grafici casuali)

per quanto riguarda il terzo trimestre, c'è un lavoro empirico sulla "spina dorsale" e possibili "backdoor" di problemi di SAT. la spina dorsale è l'insieme di letterali che sono vere in ogni incarico soddisfacente. Una backdoor in un problema SAT è un insieme (si spera piccolo) di variabili che forniscono una "scorciatoia" per risolvere il problema. queste due strutture sarebbero probabilmente utili e / o chiave per comprendere ciò che si definisce "sotto-CNF" o CNF con alcune variabili rimosse. ma anche DP, l'algoritmo di davis putnam può essere visto come esplorare sistematicamente molti "sub-CNF" del CNF per risolverlo.

[1] Backbones e Backdoor in Satisfiability di Kilby et al