Esiste un esempio di una classe di grafici per i quali il problema della colorazione dei vertici è in P ma l'insieme indipendente è il problema NP è completo?
Risposte:
Un'affermazione forse più generale (con una prova semplice) è che il seguente problema è già NP-completo:
Input: un grafico G, una colorazione 3 di G, un numero intero k.
Domanda: G ha un set indipendente di dimensioni k?
Ciò può essere dimostrato da una riduzione dal set indipendente. Nota che se prendiamo un grafico G, scegliamo un bordo e lo suddividiamo due volte (cioè sostituisci il bordo {u, v} con un percorso u, x, y, v dove xey hanno grado due) quindi il numero di indipendenza di G aumenta esattamente di uno. (Puoi aggiungere esattamente uno di xo y a qualsiasi set che era indipendente in G, e neanche il contrario non è difficile.) Quindi la domanda se il grafico G con i bordi m ha un set indipendente di dimensioni k, è equivalente alla domanda se G ', che è il risultato della suddivisione di tutti i bordi in G due volte, ha un insieme indipendente di dimensioni k + m. Ma nota che è facile ottenere una 3 colorazione di G ', partizionando G' in tre insiemi indipendenti come segue: uno contiene i vertici che erano anche in G, e le altre due classi contengono ciascuna esattamente una delle due " parzializzatore" vertici per ciascun bordo. Quindi questa procedura costruisce un grafico G 'con una colorazione 3 di esso, in modo tale che il calcolo del suo numero di indipendenza ti dia il numero di indipendenza del grafico originale G.
Presumibilmente il riferimento "Problemi NP completi su un grafico planare cubico a 3 connessioni e le loro applicazioni" di Uehara (un documento che non ho mai visto) dimostra che l'insieme indipendente è NP completo anche per i grafici planari senza triangoli. Ma secondo il teorema di Grötzsch sono sempre tricolore e testare un numero minore di colori rispetto a 3 è facile in qualsiasi grafico, quindi possono essere colorati in modo ottimale in P.
I grafici a cerchio hanno la proprietà opposta: per loro, la colorazione è NP completa ma il problema del set indipendente è facile.
Questa non è una nuova risposta, ma piuttosto un chiarimento il primo e facile da ottenere riferimento per la durezza del SET INDIPENDENTE nei grafici planari cubici senza triangoli: la nota di Owen Murphy, Calcolo di set indipendenti in grafici con grande circonferenza , Matematica applicata discreta 35 (1992) 167-170 lo dimostra
La riduzione indicata da @BartJansen è un caso speciale nella dimostrazione del suo teorema di Murphy.
Per la proprietà opposta, i grafici a linee sembrano essere più naturali dei grafici a cerchio come affrontati da @DavidEppstein. Per i grafici a linee, COLORING è NP-completo ma SET INDIPENDENTE è semplice.