Quadro geometrico dietro espansori quantistici

(anche qui chiesto , nessuna risposta)

Un espansore -quantum è una distribuzione sul gruppo unitario con la proprietà che: a) , b) , dove è la misura di Haar. Se invece di distribuzioni su unitari consideriamo distribuzioni su matrici di permutazione, non è difficile vedere che recuperiamo la solita definizione di un grafico di espansione -regolare. Per ulteriori informazioni, vedere ad esempio: Espansori di prodotti a tensore quantico efficienti e design K di Harrow e Low.ν U ( d ) | s u p p ν | = d ‖ E U ∼ ν U ⊗ U † - E U ∼ μ H U ⊗ U † ‖ ∞ ≤ λ μ H$(d,\lambda)$$\nu$$\mathcal{U}(d)$$|\mathrm{supp} \ \nu| =d$$\Vert \mathbb{E}_{U \sim \nu} U \otimes U^{\dagger} - \mathbb{E}_{U \sim \mu_H} U \otimes U^{\dagger}\Vert_{\infty} \leq \lambda$$\mu_H$$d$

La mia domanda è: gli espansori quantistici ammettono qualsiasi tipo di interpretazione geometrica simile agli espansori classici (dove gap spettrale isoperimetria / espansione del grafico sottostante)? Non definisco formalmente la "realizzazione geometrica", ma concettualmente si potrebbe sperare che un criterio puramente spettrale possa essere tradotto in qualche quadro geometrico (che, nel caso classico, è la fonte della ricchezza matematica di cui godono gli espansori; struttura matematica del quantistico gli espansori sembrano essere molto più limitati).$\sim$

[Questa risposta è stata copiata dalla mia risposta sul sito di scambio teorico di fisica teorica ormai defunto.] Per gli espansori classici, la definizione spettrale può essere espressa in termini del secondo autovalore più piccolo del grafico Laplacian, che può essere considerato come il minimo di una forma quadratica su tutti i vettori unitari ortogonali al vettore tutti. Se limitiamo questa minimizzazione ai vettori del modulo (a, a, ..., a, b, b, ..b), ciò produce l'espansione del bordo del grafico. ecco una discussione. La grossolana equivalenza di queste due definizioni è nota come disuguaglianza di Cheeger .

Ciò suggerisce che per il caso quantico dovremmo considerare l'azione del canale (formato applicando un unitario casuale dall'espansore) sui proiettori. Un risultato analogo alla disuguaglianza di Cheeger è derivato nell'appendice A di arXiv: 0706.0556 .

D'altra parte, sebbene ciò sia matematicamente analogo, conosciamo ancora molte meno applicazioni di espansori quantistici rispetto a quelle conosciute per gli espansori classici.