Dimensione VC delle sfere in 3 dimensioni

Sto cercando la dimensione VC del seguente sistema di set.

Universo tale che U ⊆ R 3 . Nel sistema dell'insieme R ogni insieme S ∈ R corrisponde a una sfera in R 3 in modo tale che l'insieme S contenga un elemento in U se e solo se la sfera corrispondente lo contiene in R 3 .$U=\{p_1,p_2,\ldots,p_m\}$$U\subseteq \mathbb{R}^3$$\mathcal{R}$$S\in \mathcal{R}$$\mathbb{R}^3$$S$$U$$\mathbb{R}^3$

Dettagli che già conosco.

1. La dimensione VC è almeno 4. Questo perché se sono 4 angoli di un tetraedro, allora può essere frantumato da $p_1,p_2,p_3,p_4$$\mathcal{R}$

2. La dimensione VC è al massimo 5. Questo perché il sistema impostato può essere incorporato in con sfere in R 3 corrispondenti agli iperpiani in R 4 . È noto che gli iperpiani in R d hanno dimensione VC d + 1 .$\mathcal{R}^4$$\mathcal{R}^3$$\mathcal{R}^4$$\mathcal{R}^d$$d+1$

Ecco un semplice argomento:

$U$$S \subseteq U$$B$$B \cap U = S$$B'$$B' \cap U = U \setminus S$$B \cap B'$$U$$B \cap B' = \emptyset$$B$$B'$$B$$B'$$S$$U \setminus S$$U$

Lo stesso argomento nella dimensione superiore mostra che la dimensione VC delle sfere è uguale alla dimensione VC degli halfspaces.

La mia soluzione non è corretta Vedi altra risposta ...