Complessità parametrizzata del conteggio delle biciclette

In una domanda precedente Algoritmo parametrizzato per la ricerca di bicliques , ho chiesto se esistessero algoritmi parametrizzati veloci per trovare un -biclique in un grafico del vertice n e ho scoperto che era aperto se è FPT wrt k . Lo stesso vale per il conteggio dei k × k -bicliques o è noto che questo è # W \ [ 1 \] -hard wrt k (o qualche altra nozione di durezza)?$k\times k$$n$$k$$k\times k$$W\[1\]$$k$

So che il conteggio indotto -bicliques sono # W \ [ 1 \] -duro, espandendo una semplice riduzione per reperire un biclique indotta nella sezione 4.5 in tesi Serge Gaspers' .$k\times k$$W\[1\]$

Dovrebbe essere #W [1] -hard da un argomento di interpolazione standard. Ecco uno schizzo approssimativo.

Innanzitutto, prendi in considerazione la versione multicolore del problema biculare: dato un grafico il cui insieme di vertici è suddiviso in classi , trova un bicolore contenente esattamente un vertice di ciascun insieme. A differenza di Biclique, il cui stato FPT è aperto, questa versione multicolore è nota per essere W [1] -hard: c'è una facile riduzione dalla cricca. Credo che dovrebbe anche essere #W [1] -hard.$X_1,\dots, X_{2k}$

Dato un grafico e una partizione come sopra, otteniamo un nuovo grafico G ′ sostituendo ogni vertice di X i con un insieme indipendente di dimensioni x i (e sostituendo ogni bordo tra X i e X j con un x i × x j biclique). Ora il numero di k × k bicliques in G ′ è una funzione delle variabili 2 k x 1 , … , x 2 $G$$G'$$X_i$$x_i$$X_i$$X_j$$x_i\times x_j$$k\times k$$G'$$2k$$x_1,\dots,x_{2k}$. In realtà, si può vedere che questa funzione è un polinomio di grado massimo e il coefficiente del termine x 1 ⋅ ⋯ ⋅ x 2 k è esattamente il numero di bicliques multicolori in G . Quindi sostituendo sufficientemente molte combinazioni di valori nelle variabili x i e contando il numero di bicliques in G ′ , possiamo valutare questo polinomio in punti sufficientemente numerosi da recuperare i suoi coefficienti per interpolazione.$2k$$x_1\cdot\dots\cdot x_{2k}$$G$$x_i$$G'$