Contando il numero di regioni spesse che si sovrappongono a un quadrato

Sia un quadrato unitario. In funzione di , qual è il numero massimo di regioni -fat disgiunte a coppie con diametro almeno 1 che possono intersecare ?$S$$\beta$$\beta$$S$

Di seguito, diamo una figura che mostra che per , il numero massimo è 7. Che dire di ?$\beta=1$$\beta = 2, 3, \ldots, n$

Richiama la definizione di grasso per le regioni nel piano. Data una regione , lasciate cerchio di raggio essere il più grande cerchio contenuta in , e lasciare cerchio di raggio essere cerchio minore che contiene R . Il grasso di R è dato da r 2$R$$C_1$$r_1$$R$$C_2$$r_2$$R$$R$ , e diciamo cheRèβ-fat, perβ=r$\frac{r_2}{r_1}$$R$$\beta$ .$\beta = \frac{r_2}{r_1}$

Ad esempio, se , quindi le regioni sono cerchi unitari e ci sono 7 cerchi con diametro almeno 1 che possono sovrapporsi aSsenza sovrapporsi. Nella figura seguente, abbiamo raffigurato un quadrato unitario e 7 cerchi unitari che si sovrappongono al quadrato.$r_2 = r_1=\frac{1}{2}$$S$

Penso che il numero massimo di regioni adipose disgiunte a coppie che si sovrappongono al quadrato dovrebbe essere fortemente correlato all'imballaggio del cerchio.

$\beta=2$

.

e questi possono impacchettarsi entro la distanza 1 del quadrato dell'unità ovviamente molto più strettamente di quanto li abbia descritti.

Si noti che la regione della sfera e della catena attuale è definita dall'area verde e il cerchio esterno è solo una guida per descrivere il fatto che queste regioni hanno grasso 2. In effetti, la parte della catena della regione, può "piegarsi" per consentire più regioni da imballare.