Complessità nel decidere se una matrice è totalmente regolare

Una matrice è chiamata totalmente regolare se tutte le sue matrici quadrate hanno il grado completo. Tali matrici sono state utilizzate per costruire superconcentratori. Qual è la complessità nel decidere se una data matrice è totalmente regolare rispetto ai razionali? Su campi finiti?

Più in generale, chiama una matrice totalmente -regolare se tutte le sue matrici quadrate di dimensione al massimo hanno il grado completo. Data una matrice e un parametro , qual è la complessità nel decidere se la matrice è totalmente -regolare? $k$ $k$ $k$ $k$

— Markus Bläser
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Una domanda elementare: cosa intendi quando dici matrice regolare? Grazie!

— Henry Yuen,

vuoi dire che ogni sottotrix non è singolare? Ricordo che c'era una domanda simile che non riesco a trovare in questo momento

— Sasho Nikolov,

In effetti, ci sono tre diversi significati di regolare: en.wikipedia.org/wiki/Regular_matrix

— Suresh Venkat

ah, ho trovato la domanda correlata: cstheory.stackexchange.com/questions/10962/… . la tua domanda si adatta più da vicino al commento che ho fatto lì: questa è una variante più semplice della (a tutta apertura AFAIK) questione di testare la parte isometria limitata.

— Sasho Nikolov,

Su campi finiti, verificare se una matrice

-regolare equivale a verificare se una matrice del generatore di codice

ha una distanza minima

(ovvero se è MDS). Anche le approssimazioni costanti dei fattori per trovare la distanza minima del codice sono difficili. Controlla questo documento ee.ucr.edu/~dumer/ieee49-1-03-np.pdf e i riferimenti all'interno.

n \times k

$n\times k$

k

$k$

n \times k

$n\times k$

n - k + 1

$n-k+1$

— Dimitris,

Risposte:

L'articolo Vandermonde Matrices, NP-Completeeness e Transversal Subspaces [ps] di Alexander Chistov, Hervé Fournier, Leonid Gurvits e Pascal Koiran possono essere rilevanti per la tua domanda (anche se non risponde).

Dimostrano la completezza di del seguente problema: Data una matrice su ( ), decidono se esiste una sottotrama cui determinante svanisce. $\mathsf{NP}$ $n\times m$ $\mathbb Z$ $n\le m$ $n\times n$

— Bruno
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Grazie Bruno! Non possiamo ridurre il problema della tua risposta al mio problema mediante una riduzione casuale (oltre i razionali)? Aggiungi solo

righe casuali. Se la nuova matrice non è totalmente regolare, contiene una singolare matrice

nelle prime

righe con alta probabilità. Ah no. Il sottomatrix potrebbe essere più piccolo. Ma forse uno può farlo funzionare ...

m - n

$m-n$

n \times n

$n \times n$

n

$n$

— Markus Bläser,

Sì, il problema è sostanzialmente equivalente a quello (generali Piano) nella Alexander Chistov, Hervé Fournier, Leonid Gurvits e Pascal Koiran carta .

Considera una matrice , . Senza perdita di generalità, supponiamo che il e le prime colonne di siano indipendenti: , dove è una matrice non singolare . Ora, contiene una singolare sottomatrice se e solo se $n \times m$ $A$ $n < m$ $\text{rank}(A) = n$ $n$ $A$ $A =[B\ |\ D]$ $B$ $n \times n$ $A$ $n \times n$ $B^{-1}D$ non è del tutto regolare.

— gurvits leonidi
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C'è un altro problema NP-Complete nello stesso spirito: per una matrice quadrata decidere se tutte le sue principali matrici secondarie (cioè file e colonne dello stesso insieme) sono non singolari. Un altro fatto curioso: la somma dei quadrati dei determinanti di tutte le sottomatrici quadrate è facile (solo Det (I + AA ^ {T})), ma la somma dei valori assoluti è # P-Complete.

— gurvits leonidi
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