Alla ricerca di un bel problema all'interno di SC ma non nei primi due livelli

Lo zoo di complessità non ha molto su . Sto cercando un bel problema che si trova nei livelli più alti della gerarchia, cioè un problema in ma non noto per essere in . $\mathsf{SC}$ $^\dagger$ $\mathsf{DTimeSpace}(n^{O(1)},\lg^{O(1)} n)$ $\mathsf{DTimeSpace}(n^{O(1)},\lg^2n)$

Come domanda secondaria, c'è qualche motivo noto per cui trovare esempi di bei problemi nei livelli più alti delle gerarchie ( , , , , ecc.) È più difficile dei primi livelli? $\mathsf{AC}$ $\mathsf{NC}$ $\mathsf{SC}$ $\mathsf{PH}$

$\dagger$ anche se bello non è un termine matematico, penso che capiamo intuitivamente cosa significhi, ad esempio accettare il problema per NTM è un problema artificiale che le persone non sono interessate ad esso a parte il fatto che è completo per , mentre la colorazione del grafico il problema era interessante prima di essere noto per essere in / complete per ed è ancora interessante a parte la classe di complessità a cui appartiene. $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$

cc.complexity-theory complexity-classes

— Kaveh
fonte

(1) "Accettare il problema per NTM non è un problema artificiale a cui le persone non sono interessate a parte il fatto che è completo per NP": sembra che tu abbia un "non" eccessivo qui.

— Tsuyoshi Ito,

(2) "Come domanda secondaria, c'è qualche motivo noto per cui trovare esempi di bei problemi in livelli più alti di gerarchie (AC, NC, SC, PH, ecc.) È più difficile dei primi livelli?" motivo più profondo di "I livelli inferiori sono più semplici e quindi ci sono molti esempi carini in essi"?

— Tsuyoshi Ito,

@Tsuyoshi, grazie, ho rimosso il extra no. Circa 2, sì, ho bisogno di una ragione più profonda per i bei problemi che ricadono nei bassi livelli delle gerarchie. Non vedo una grande differenza di definizione tra e dico .

D T i m e S p a c e (n^{O (1)}, \lg^{2} n)

$\mathsf{DTimeSpace}(n^{O(1)},\lg^2 n)$

D T i m e S p a c e (n^{O (1)}, \lg^{4} n)

$\mathsf{DTimeSpace}(n^{O(1)},\lg^4 n)$

— Kaveh,

Naturalmente la definizione è la stessa. La differenza è che il registro ^ 2 è più semplice del registro ^ 4. Lo stesso argomento si applica alla domanda sul perché ci siano molti più algoritmi che girano nel tempo O (n ^ 2) di quelli che corrono nel tempo O (n ^ 4).

— Tsuyoshi Ito,

@Tsuyoshi, non sono sicuro di cosa intendi per essendo più semplice di . La domanda si applica anche a .

\lg^{4}

$\lg^4$

\lg^{2}

$\lg^2$

P

$\mathsf{P}$

— Kaveh,

Non ho un suggerimento per un problema naturale in , ma ho un suggerimento per la tua domanda secondaria, sul perché trovare un tale il problema sembra difficile. Penso che questo abbia qualcosa a che fare con l'idea popolare secondo cui le persone possono davvero comprendere (o forse sono interessate solo a? O entrambe?) Matematica che è profonda alcune quantificazioni alternative. Ad esempio, la definizione di limite è profonda due quantificatori (per tutto epsilon esiste un delta ...); la definizione di " " è di due quantificatori (esiste una macchina tale che per tutti gli input ...) e la frase " " è profonda tre quantificatori. $\mathsf{DTimeSpace}(n^{O(1)}, \log^4 n)$ $L \in \mathsf{NP}$ $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

Per quanto riguarda , ciò è in qualche modo confermato dal fatto che ci sono molti problemi naturali che sono completi, molti problemi naturali che sono completi e solo alcuni problemi naturali noti che sono -completo (vedi il compendio di Schaefer e Umans ). I problemi più naturali noti per essere completi per livelli più elevati di provengono dalla stessa logica, il che è meno sorprendente poiché all'interno di una determinata logica si ha spesso la nozione di " $\mathsf{PH}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{\Sigma_2 P}$ $\mathsf{\Sigma_3 P}$ $\mathsf{PH}$ $k$ -molte alternative quantificabili ", o almeno un modo naturale per simularlo. Questi forse rientrano nella stessa categoria di" accettare problemi per NTM ", che hai dichiarato" non abbastanza carino "per questa domanda.

Potrebbe anche valere la pena ricordare che la stessa cosa accade nel mondo della calcolabilità, il che forse suggerisce che deve fare di più con la nostra comprensione dei quantificatori alternati e meno con la complessità in sé. È noto che molti problemi naturali sono completi (equivalenti al problema dell'arresto) e molti problemi naturali sono noti per essere completi per il secondo e il terzo livello della gerarchia aritmetica. Ma man mano che vai ai livelli più alti della gerarchia aritmetica, sempre meno problemi naturali sono noti per essere completi per quei livelli. Non sono sicuro di conoscere un problema naturale completo per e non ho mai sentito parlare di un problema naturale completo per $\mathsf{\Sigma^0_1}$ $\mathsf{\Sigma^0_4}$ $\mathsf{\Sigma^0_5}$ (anche se forse c'è).

Per quanto riguarda i limiti dello spazio pollogaritmico, penso che si applichi un ragionamento simile, ma ancora di più. Poiché , anche i problemi che si trovano nei "primi pochi" livelli della " gerarchia " sono in effetti tutti in (la gerarchia collassa ), che è contenuto nello spazio al quadrato. $\mathsf{NL} = \mathsf{coNL} \subseteq \mathsf{DSPACE}(\log^2 n)$ $\mathsf{NL}$ $\mathsf{NL}$

— Joshua Grochow
fonte

Questa è una risposta molto interessante

— Suresh Venkat,

Grazie Giosuè, questa è davvero una bella osservazione. In un certo senso suggerisce una prospettiva epistemologica: ciò che sembra naturale per l'uomo ha una complessità quantificabile limitata.

— Kaveh,