Disegnare grafici con pochi vertici "nitidi"?

Per un incorporamento planare di un grafico planare su un piano con spigoli retti, definire un vertice come vertice acuto se l'angolo massimo tra due spigoli consecutivi attorno ad esso è maggiore di 180. In altre parole, se esiste una linea che lo attraversa vertice nell'incorporamento in modo tale che tutti i bordi incidenti su quel vertice si trovano su un lato della linea, quindi il vertice è "nitido", altrimenti non lo è. Inoltre, preoccupiamoci solo di vertici con grado almeno 3.

Voglio disegnare grafici planari con pochi vertici nitidi. Qualcuno ha studiato tali disegni prima?

In particolare, voglio disegnare grafici planari con massimo grado 3 in modo tale che il numero di vertici nitidi di grado 3 nell'incorporamento sia e che le coordinate dei vertici possano essere annotate con un numero polinomiale di bit. $O(\log n)$

Ecco cosa posso trovare dopo aver trascorso un po 'di tempo su Google Scholar:

La mia misura di nitidezza di un vertice è correlata a un concetto già studiato chiamato risoluzione angolare . Da Wikipedia:

La risoluzione angolare di un disegno di un grafico si riferisce all'angolo più nitido formato da due bordi qualsiasi che si incontrano in corrispondenza di un vertice comune del disegno.

Quindi un disegno planare con risoluzione angolare attorno ai vertici di grado 3 sarà buono per il mio scopo. $\pi/2$

Per un vertice con grado nel disegno, la risoluzione angolare attorno ad esso può essere al massimo . $d$ $2\pi/d$

La questione se questo è stretto è stata studiata in passato, ma posso trovare solo risultati asintotici. Ad esempio, Malitz e Papakostas dimostrano che qualsiasi grafico planare con il massimo grado può essere disegnato con una risoluzione angolare di . Ma questo risultato non dà buoni limiti per il caso quando . $d$ $\alpha^d$ $d=3$

graph-theory cg.comp-geom graph-drawing

— Vinayak Pathak
fonte

Non sono sicuro del significato. Se si disegna un poligono convesso regolare, l'angolo massimo attorno ad esso è superiore a 180. E un poligono convesso regolare con n grande è piuttosto lontano da "nitido".

— Suresh Venkat,

Sto definendo la nitidezza come una proprietà di un vertice, non dell'intero disegno. Quindi, se per un vertice, è possibile tracciare una linea retta in modo tale che tutti i bordi incidenti su quel vertice si trovino su un lato della linea retta, allora il vertice è "nitido", altrimenti non lo è. Forse dovrei scrivere questo nella domanda originale.

— Vinayak Pathak,

@Vinayak: che dire dei vertici con grado 1 e 2?

— Marzio De Biasi,

Possono essere ignorati.

— Vinayak Pathak,

Se la risoluzione angolare è ciò che vuoi, ha senso perché sta osservando l'angolo MINIMO tra i bordi adiacenti. è abbastanza diverso da quello che hai definito prima.

— Suresh Venkat,

È possibile costruire grafici planari a 3 regolari con componenti biconnessi (vedere ad es. Fig.16 di questo documento ), ciascuno dei quali deve contenere almeno un vertice acuto. $\Theta(n)$

D'altra parte, se hai bisogno di livelli più alti di connettività, puoi evitare di avere molti vertici nitidi. In particolare, se si dispone di un grafico planare a 3 connessioni, può essere disegnato (ad esempio utilizzando il teorema di Steinitz per trovare una rappresentazione poliedrica e quindi formare una proiezione prospettica) in modo tale che tutte le facce siano convesse, il che causa solo il faccia esterna per essere nitida. Ma ogni grafico planare a 3 connessioni può essere incorporato in modo tale che la faccia esterna abbia al massimo cinque vertici (il caso peggiore è un dodecaedro) in modo da poter disegnare ogni grafico planare a 3 connessioni (3-regolare o no) con at la maggior parte dei cinque vertici taglienti.

— David Eppstein
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