Una prova più intuitiva del teorema di zona?

Il teorema di zona dice che se pugnaliamo una disposizione di n linee con un'altra linea, la complessità totale della sua zona , l'insieme di tutte le facce 0, 1 e 2 adiacenti ad essa, è O (n). La costante effettiva è qualcosa come 6n almeno come indicato in vari libri di testo, e la prova è per induzione con un argomento di addebito ragionevolmente attento.

Mi è stata posta questa domanda in classe e non ho una risposta:

Esiste una prova alternativa e più intuitiva del teorema di zona?

Ora mi rendo conto che molte persone trovano l'induzione abbastanza intuitiva e verrebbero offese dalle mie implicazioni, e sono disposto a modificare quanto sopra semplicemente per "alternare" per loro. Ma c'è qualche prova del genere? O anche una prova del libro ?

Questo non è più pulito, ma è una buona preparazione per cose più avanzate ed è un buon esempio di astrazione ...

Si può usare l'argomento delle sequenze di Davenport-Schinzel. Considera la regione sopra la linea della tua zona. Ogni linea diventa un raggio, e in effetti due raggi, poiché consideriamo il lato sinistro e il lato destro diversi. Scansiona il confine di questa zona da sinistra a destra, annotando quali raggi incontri. Questa è una sequenza definita su 2n simboli e il pattern abab è illegale. Pertanto, la lunghezza della sequenza è al massimo 2 (2n) -1 = 4n-1. Applicandolo alla zona sotto la linea, implica un limite del modulo 8n.

Ora, provare che una sequenza di simboli senza ... a..b..a..b ... come una sottosequenza di n simboli ha lunghezza 2n-1 è facile. in effetti, considera due apparizioni consecutive dello stesso personaggio più vicine tra loro in questa sequenza. Chiaramente, tra questi due personaggi, ogni personaggio che appare deve essere unico. Prendi in considerazione un personaggio del genere e osserva che se appare altrove nella stringa, otterremo la sottosequenza proibita. Come tale, questo personaggio appare esattamente una volta nella stringa. Rimuovilo e, se necessario, rimuovi un carattere aggiuntivo se hai creato due caratteri identici consecutivi. Vale a dire, la rimozione di un carattere dalla stringa lo accorcia di 2, pertanto la lunghezza massima della stringa è 2n-1.

Trovo l'induzione abbastanza intuitiva e sono offeso dalle tue implicazioni. Ma quale argomento di addebito?

Wlog presuppone che la linea che definisce la zona sia orizzontale (altrimenti ruota) e che le linee siano in posizione generale (altrimenti perturbano e rendono la zona più complicata). Rimuovi una delle altre n righe. Classificare i bordi della zona risultante come limiti sinistro o destro, a seconda che la zona sia alla loro destra o sinistra, rispettivamente. (Alcuni bordi sono entrambi confini sinistro e destro, ma sono conteggiati due volte nel limite complessità.) Secondo l'ipotesi induttiva, ci sono al massimo 3n-3 confini sinistra. (Il caso di base n = 0 è banale.) Il reinserimento della linea eliminata aggiunge al massimo 3 contorni a sinistra (uno sulla linea stessa e due dalla divisione dei contorni a sinistra più vecchi). Pertanto, il numero totale di confini a sinistra è al massimo di 3n. Simmetricamente, il numero di confini a destra è al massimo di 3n, quindi la complessità totale della zona è al massimo di 6n.

Una dimostrazione di un argomento di addebito è presentata come un esercizio (insieme a suggerimenti passo-passo) a pagina 13 dei volantini della classe di geometria computazionale di David Mount: http://www.cs.umd.edu/class/fall2005/cmsc754/Handouts/ cmsc754-handouts.pdf