Complessità di ottimizzazione rispetto al gruppo unitario

Qual è la complessità computazionale dell'ottimizzazione di varie funzioni rispetto al gruppo unitario ? $\mathcal{U}(n)$

Un compito tipico, derivanti spesso in teoria dell'informazione quantistica, sarebbe massimizzando quantità di tipo (o superiore polinomi di ordine nelle ) in tutto unitario matrici . Questo tipo di ottimizzazione è calcolabile in modo efficiente (forse approssimativamente) o è NP-difficile? (forse questo è ben noto, ma non sono stato in grado di trovare riferimenti generali) $\mathrm{Tr}AUBU^{\dagger}$ $U$ $U$

— Marcin Kotowski
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stai bene limitare le "varie funzioni" ai "polinomi sugli unitari"?

— Artem Kaznatcheev

Non so molto su come sorgano questi problemi, ma quale sarebbe l'analogo classico naturale di questo problema? Conosci la complessità di quel problema?

— Robin Kothari,

C'è un bellissimo documento di Roger Brockett del 1991 che mostra come esprimere l'ordinamento e la programmazione lineare essenzialmente nella forma che descrivi, ma sopra le matrici ortogonali. Tuttavia, nessuna menzione di complessità, ma il fatto che due problemi molto diversi possano essere espressi allo stesso modo significa che dovrai conoscere qualcosa sulla struttura del problema per determinare la complessità: eecs.berkeley.edu/~sburden/research/ jonathan / Brockett1991.pdf

— Suresh Venkat

@Artem: sì, in pratica i polinomi di basso grado sono i più rilevanti, credo.

— Marcin Kotowski

Si riduce alle decomposizioni di automi di

nell'esempio di grado 2 che dai. Per

eremita, la

unitaria può essere utilizzata per massimizzare la traccia facendo allineare gli spazi di eigeni di

a quelli di

; basta quindi massimizzare il punto-prodotto delle sequenze dei loro autovalori, il che è banale se

sono semidefiniti positivi (e un caso al quale possiamo ridurre aggiungendo multipli dell'identità per riscalare autovalori). Oppure sei interessato a casi molto più generali, non necessariamente motivati dalla meccanica quantistica su sistemi di piccole dimensioni?

A

$A$

B

$B$

A

$A$

B

$B$

U

$U$

U B U^{†}

$U B U^\dagger$

A

$A$

A

$A$

B

$B$

— Niel de Beaudrap,

Risposte:

Scusa sono in ritardo! Nella teoria dell'informatica quantistica, ci sono molti esempi di problemi di ottimizzazione nel gruppo unitario che, sorprendentemente (almeno per me), sono risolvibili nel tempo polinomiale (classico) mediante riduzione alla programmazione semidefinita.

Ecco un primo esempio: risolvere un mio problema dal 2000, nel 2003 Barnum, Saks e Szegedy hanno mostrato che Q (f), la complessità della query quantistica di una funzione booleana f: {0,1} ⁿ → {0,1 }, può essere calcolato nel polinomio temporale in 2 ⁿ (cioè, la dimensione della tabella di verità di f). Ci avevo pensato, ma non riuscivo a vedere come farlo, dal momento che è necessario ottimizzare la probabilità di successo su tutti i possibili algoritmi di query quantistiche, ognuno con il proprio set di matrici unitarie (possibilmente di 2 dimensioni ⁿ ). Barnum et al. ridotto a SDP sfruttando una "dualità" tra matrici unitarie e matrici semidefinite positive, il cosiddetto isomorfismo di Choi-Jamiolkowski. Per un SDP più recente e più semplice che caratterizza Q (f), vedi l'articolo di Reichardt del 2010 che mostra che il metodo dell'avversario di peso negativo è ottimale.

Un altro caso importante in cui questo trucco è stato sfruttato è nei sistemi quantistici a prova interattiva. Sebbene non sia intuitivamente ovvio, nel 2000 Kitaev e Watrous hanno dimostrato che QIP ⊆ EXP. riducendo il problema dell'ottimizzazione delle matrici unitarie di dimensioni esponenziali che sorgono in un sistema di prove interattive quantistiche a 3 round, per risolvere un SDP di dimensioni singolarmente esponenziali (di nuovo, penso, usando l'isomorfismo di Choi-Jamiolkowski tra stati misti e matrici unitarie). La recente scoperta di QIP = PSPACE ha mostrato che quel particolare SDP poteva essere risolto approssimativamente in modo ancora migliore, in NC (cioè con circuiti di profondità di log).

Quindi, qualunque sia il tuo specifico problema di ottimizzazione che coinvolge il gruppo unitario, la mia ipotesi è che possa essere risolto più velocemente di quanto pensi - se non in qualche modo ancora più semplice, quindi riducendo a SDP!

— Scott Aaronson
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Caro Scott! Barnum, Saks e Szegedy non menzionano esplicitamente l'isomorfismo di Choi-Jamiolkowski e non capisco come questo sia legato alla loro costruzione. Potresti per favore approfondire questo? Lo sto chiedendo perché sto cercando di capire se un risultato simile è possibile nel caso di oracoli difettosi.

— Joris,

-3

Determinare se due matrici Hadamard sono equivalenti è un problema completo di isomorfismo grafico (GI). Brendon McKay ha un articolo su questo argomento. Vedi BD McKay, equivalenza di Hadamard tramite isomorfismo grafico, Discrete Mathematics, 27 (1979) 213-216.

— Dursun
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