Una variazione sulla discrepanza che coinvolge grafici casuali

Supponiamo di avere un grafico su $n$ nodi. Vorremmo assegnare a ciascun nodo un $+1$ o un $−1$ . Chiamalo una configurazione $\sigma \in \{+1,−1\}^n$ . Il numero di $+1$ s che dobbiamo assegnare è esattamente $s$ (quindi il numero di $−1$ s è $n−s$ ). Data una configurazione $\sigma$ , osserviamo ciascun nodo $i$ e sommiamo i valori assegnati ai suoi vicini, chiamiamo questo $\xi_i(\sigma)$ $\xi_i(\sigma)$

N (σ) := \sum_{i = 1}^{n} 1 {ξ_{i} (σ) \geq 0} .

$N(\sigma):=\sum_{i=1}^n 1\{\xi_i(\sigma) \ge 0\}.$

σ

$\sigma$

N (σ)

$N(\sigma)$

(max N) / n

$(\max N)/n$

s / n

$s/n$ . Mi chiedo se questo problema sembri familiare a nessuno o se possa essere ridotto a qualche problema noto nella teoria dei grafi. Se aiuta, si può presumere che il grafico sia casuale del tipo Erdős-Renyi (diciamo, G (n, p) con probabilità del bordo , ovvero grado medio che cresce come ). L'istruttore principale è nel caso in cui .

p (\log n) / n

$p ~ (\log n)/n$

\log n

$\log n$

s / n \in (0, 1 / 2)

$s/n \in (0,1/2)$

graph-theory co.combinatorics optimization

— passerby51
fonte

Ho cambiato il titolo, perché ciò che stai chiedendo è correlato a problemi di discrepanza negli spazi. NON è tuttavia correlato alla discrepanza nei grafici (che riguarda maggiormente le deviazioni della densità dei bordi)

— Suresh Venkat

limite semplice: prendere

a caso;

, dove

è il grado di vertice

è una costante. Quindi,

σ

$\sigma$

Pr [ξ_{i} (σ) < 0] \leq \exp (- C δ_{i} (s / n - 1 / 2)^{2})

$\Pr[\xi_i(\sigma) < 0] \leq \exp(-C\delta_i (s/n - 1/2)^2)$

δ_{i}

$\delta_i$

i

$i$

C

$C$

. Se si dice

e il grafico è

-regolare, allora esiste

tale che

E [N (σ)] \geq \sum_{i} 1 - \exp (- C δ_{i} (s / n - 1 / 2)^{2})

$E[N(\sigma)] \geq \sum_i{1-\exp(-C\delta_i (s/n - 1/2)^2)}$

s = 3 n / 4

$s = 3n/4$

(16 / C) \log n

$(16/C)\log n$

σ

$\sigma$

N (σ) \geq n - O (1)

$N(\sigma) \geq n - O(1)$

— Sasho Nikolov,

@Suresh: grazie. Questo è quello che mi piace chiedere agli informatici, impari qualcosa di nuovo! Allora, dove è un buon posto per conoscere i problemi di discrepanza nello spazio di portata? (Forse un breve documento conciso?)

— passerby51

@Sasho: grazie. Per qualche motivo, non riesco a vedere correttamente le equazioni (si sono scontrate con il testo circostante). Proverò a leggerlo e risponderò a te. Ma devo dire che il regime interessante per me è

e il problema sembra ottenere più duro come

approcci

. (Ciò è dovuto alla considerazione della simmetria nel problema originale da cui proviene.) Non penso che guardare un

casuale lo farebbe per

s / n \in (0, 1 / 2)

$s/n \in (0,1/2)$

s / n

$s/n$

1 / 2

$1/2$

σ

$\sigma$

s / n \in (0, 1 / 2)

$s/n \in (0,1/2)$

— passerby51,

L'ipotesi / speranza è che

diciamo G (n, p) con

oppure

. Ho appena realizzato l'errore di battitura nel mio post originale per quanto riguarda

. Mi dispiace per quello. Il grado medio sta crescendo come

not

(max N) / n = o (1)

$(\max N)/n = o(1)$

p (\log n) / n

$p ~ (\log n) / n$

p (\log n)^{1 + ϵ} / n

$p ~ (\log n)^{1+\epsilon} /n$

p

$p$

\log n

$\log n$

p

$p$

— passerby51,

Risposte:

Potresti avvicinarti a questo con un calcolo del "secondo momento", simile a quello che ho usato in Una soglia acuta per un problema di soddisfazione del vincolo casuale , Discrete Mathematics 285 / 1-3 (2004), 301-305.

Quando il grado medio cresce come un numero sufficientemente ampio volte costanti , questo approccio è stato spesso sufficiente per trovare esattamente la soglia della soddisfacibilità. Potrebbe anche mostrare la frazione di clausole che possono essere soddisfatte in un caso insoddisfacente, anche se non l'ho studiato. $\log n$

Per rendere il tuo problema più simile al mio generale, puoi vederlo come un "MAX-AT-LEAST-HALF-SAT" con una speciale struttura grafica alla base delle clausole nella formula CNF. Non penso che questa struttura speciale ti aiuterà in un'analisi del caso peggiore, e poiché la dimensione della tua clausola non è uniforme e il tuo set di compiti "cattivo" è in crescita, dovrai passare attraverso il calcolo e vedere se funziona ancora.

— Abraham D Flaxman
fonte

considerare questo come un CSP sembra davvero una soluzione migliore rispetto a vederlo come un problema di discrepanza

— Sasho Nikolov,

Grazie. Questo sembra molto interessante. Lo esaminerò.

— passerby51,

Vorrei approfondire il mio commento. Innanzitutto, questo è simile alla discrepanza, ma ovviamente diverso in diversi modi. Dato un sistema di insiemi , la discrepanza del sistema è . Indichiamo $m$ $S_1, \ldots, S_m \subseteq \{1, \ldots n\} = [n]$ $\min_{\sigma:[n] \rightarrow \{\pm 1\}}{\max_{j}{|\sum_{i \in S_j}{\sigma(i)}|}}$ . La tua definizione differisce dal fatto che vuoi sapere per quanti set è positivo e la discrepanza chiede quanto è grande in grandezza nel peggiore dei casi. Per una breve introduzione, forse le mienote di scribapossono aiutare. Chazelle ha un bellibroche approfondisce molti dettagli. $\sigma(S_j) = |\sum_{i \in S_j}{\sigma(i)}|$ $\sigma(S_j)$ $\sigma(S_j)$

Per un limite inferiore probabilistico facile quando , come nel mio commento, dato un grafico con sequenza gradi , puoi scegliere uniformemente a caso da tutti sequenze con (le non sono indipendenti, ma in questo caso dovrebbe essere possibile dimostrare un limite di Chernoff). Abbiamo $s > n/2$ $G = ([n], E)$ $\delta_1, \ldots, \delta_n$ $\sigma$ $s$ $1$ $\sigma_i$ e, da un Chernoff vincolato, per qualche costante . Quindi $E[\xi_i(\sigma)] = \delta_i s/n$ $\Pr[\xi_i(\sigma) < 0] \leq \exp(-C\delta_i (s/n - 1/2)^2)$ $C$ . Quindi esiste qualcheche raggiunge questo limite. $E[N(\sigma)] \geq n - \sum_i{\exp(-C\delta_i (s/n - 1/2)^2)}$ $\sigma$

EDIT: sembra che tu sia interessato al caso . Scegliamo a caso come nel paragrafo precedente. Utilizzando una versione del teorema del limite centrale per il campionamento senza sostituzione ( è un campione di dimensione senza sostituzione dai vertici del grafico), dovresti essere in grado di mostrare che si comporta come un gaussiano con media e varianza attorno a , quindi $s < n/2$ $\sigma$ $\sigma$ $s$ $\xi_i(\sigma)$ $\delta_i (2s/n - 1)$ $\delta_i$ per alcuni C e un parametro di errore dal teorema del limite centrale. Dovremmo avere , quindi puoi prendere $\Pr[\xi_i(\sigma) \geq 0] =\exp(-C\delta_i(2s/n - 1)^2) \pm \eta(n)$ $\eta(n)$ $n\eta(n) = o(n)$ . $N(\sigma) \geq \sum_{i}{\exp(-C\delta_i(2s/n - 1)^2)} - o(n)$

Disclaimer: questo ha senso solo se sono costanti / piccoli o è molto vicino a . Inoltre i calcoli sono in qualche modo euristici e non eseguiti con molta attenzione. $\delta_i$ $s/n$ $n/2$

— Sasho Nikolov
fonte

Grazie per i bei link e l'argomento. Mi piace l'argomento probabilistico, ma penso che ci sia qualcosa di sbagliato nel tuo limite. Puoi vederlo, impostando

, per il quale dovremmo avere

. Sembra che questo sia ciò che è andato storto: se scegli

uniformemente a caso dall'insieme specificato nel problema, ogni

ha prob.

di essere

e prob. di

s = 0

$s = 0$

P r [ξ_{i} (σ) < 0] = 1

$Pr[\xi_i(\sigma) < 0] = 1$

σ

$\sigma$

σ_{j}

$\sigma_j$

γ := s / n

$\gamma := s/n$

+ 1

$+1$

1 - γ

$1-\gamma$ di essere

. Quindi,

negativa per

...

- 1

$-1$

E [ξ_{i} (σ)] = (2 γ - 1) δ_{i}

$E[ \xi_i(\sigma)] = (2\gamma-1) \delta_i$

γ \in (0, 1 / 2)

$\gamma \in (0,1/2)$

— passerby51

non sarà indipendente e in senso stretto non possiamo usare la disuguaglianza di Hoeffding. Ma ignoriamo questo dettaglio minore e assumiamolo se poi Il limite sarebbe

{σ_{j}}

$\{\sigma_j\}$

che contiene per

. Non possiamo impostare

per ottenere

P r [\frac{1}{δ_{i}} ξ_{i} (σ) < - t + 2 γ - 1) \leq \exp (- δ_{i} t^{2} / 2)

$Pr[ \frac{1}{\delta_i} \xi_i(\sigma) < -t + 2\gamma - 1) \le \exp ( -\delta_i t^2/2)$

t \geq 0

$t \ge 0$

t = 2 γ - 1 < 0

$t = 2\gamma - 1 < 0$

P r [ξ_{i} (σ) < 0]

$Pr[\xi_i(\sigma) <0]$

— passerby51,

scusa, avrei dovuto precisarlo: il presupposto qui era che

. altrimenti questo non ha senso e hai bisogno di qualcosa di più forte come Berry-Esseen. penso che

possa essere considerato essenzialmente indipendente

s > n / 2

$s > n/2$

σ_{j}

$\sigma_j$

— Sasho Nikolov,

@ passerby51 aggiunto uno schizzo come si potrebbe tentare di utilizzare una versione quantitativa del teorema del limite centrale per estendere la probabilistico legato a

s / n < 1 / 2

$s/n < 1/2$

— Sasho Nikolov,