Tempo di copertura e gap spettrale per passeggiate casuali reversibili

Sto cercando un teorema che dica qualcosa del genere: se il tempo di copertura di una catena di Markov reversibile è piccolo, allora il divario spettrale è grande. Qui il gap spettrale significa, cioè ignoriamo il più piccolo autovalore della catena.$1-|\lambda_2|$

L'unico risultato che sono riuscito a trovare in questa direzione è da Bounds on the Cover Time , Broder e Karlin, FOCS 88. Qui si presume che la matrice di transizione della catena sia doppiamente stocastica (ma non necessariamente reversibile) e aperiodica; in termini approssimativi, il documento mostra che sotto questi presupposti se il tempo di copertina è , quindi è almeno n ^ {- 1} .$O(n \log n)$$1-\max(|\lambda_2|, |\lambda_n|)$$n^{-1}$

Intuitivamente, sembra molto plausibile che se riesci a coprire rapidamente tutti i vertici di un grafico, il tempo di miscelazione dovrebbe essere ridotto. In particolare, se riesci a coprire tutti i vertici di un grafico in $n^2$ volte, sicuramente dovresti essere in grado di escludere un gap spettrale, diciamo, $n^{-1000}$ ?

Un possibile ostacolo che spezzerebbe le implicazioni tra il tempo di copertura ridotto e il gap spettrale elevato è la bipartiticità: su un grafico bipartito, è possibile avere un tempo di copertura ridotto con un autovalore di $-1$ . Nella mia domanda, sto aggirando questo problema ignorando l'autovalore più piccolo.

In parole povere, il tempo di miscelazione è il tempo di colpire nel caso peggiore della metà dei vertici. Il tempo di copertura è un tempo di arresto quando TUTTI i sottoinsiemi di vertici vengono colpiti. In altre parole, è sempre maggiore del tempo di miscelazione. Quindi il tuo esempio non può avere il tempo di miscelazione e il tempo di copertura . $n^{1000}$$n^2$

Rendere preciso questo intuito richiede un po 'di attenzione poiché dobbiamo mettere in relazione i tempi di miscelazione con l'intervallo di autovalori, prendere non metà dei vertici ma metà della distribuzione stazionaria , ecc. Niente di tutto questo è difficile. Inizia con questo articolo di Lovasz e Winkler, che fornisce la versione sopra del tempo di miscelazione e la mette in relazione con un tempo di miscelazione più standard nella variazione totale. $\pi$