Complessità del test per un valore rispetto al calcolo di una funzione

In generale sappiamo che la complessità di testare se una funzione assume un determinato valore in un dato input è più facile che valutare la funzione in quell'input. Per esempio:

• La valutazione del permanente di una matrice di numeri interi non negativi è # P-difficile, ma indica se tale permanente è zero o diverso da zero è in P (corrispondenza bipartita)

• Esistono n numeri reali , in modo tale che il polinomio abbia le seguenti proprietà (in effetti la maggior parte degli insiemi di numeri reali avrà queste proprietà) . Per un dato input , verificare se questo polinomio è zero richiede moltiplicazioni e confronti e confronti (in base al risultato di Ben-Or , poiché il set zero ha componenti), ma la valutazione del polinomio sopra richiede almeno passi, di Paterson-Stockmeyer .$a_1,...,a_n$$\prod_{i=1}^{n}(x - a_i)$$n$$x$$\Theta(\log n)$$n$$\Omega(\sqrt{n})$

• L'ordinamento richiede passaggi su un albero di confronto (anche passaggi su un albero decisionale algebrico reale, sempre secondo il risultato di Ben-Or), ma testare se un elenco è ordinato utilizza solo confronti .$\Omega(n \log n)$$\Omega(n \log n)$$n-1$

Esistono condizioni generali su un polinomio che sono sufficienti per suggerire che la complessità (algebrica) del test se il polinomio è zero è equivalente alla complessità della valutazione del polinomio?

Sto cercando condizioni che non dipendono dal conoscere in anticipo la complessità dei problemi.

( Chiarimento 27/10/2010 ) Per essere chiari, il polinomio non fa parte dell'input. Ciò significa che, data una famiglia fissa di funzioni (una per ogni dimensione di input (lunghezza bit o numero di input)), voglio confrontare la complessità del problema lingua / decisione con la complessità della valutazione delle funzioni .$\{ f_n \}$ $\{ X : f_n(X) = 0 \text{ where } n \text{ is the "size" of } X \}$ $\{f_n\}$

Chiarimento: sto chiedendo della complessità asintotica della valutazione / test delle famiglie di polinomi. Ad esempio, su un campo fisso (o anello, come $\mathbb{Z}$ ) "il permanente" non è un singolo polinomio, ma una famiglia infinita $\{perm_{n} : n \geq 0 \}$ dove $perm_{n}$ è il permanente di una matrice $n \times n$ su quel campo (o anello).

Nel corso , il test per lo zero e la valutazione è "quasi" lo stesso nel senso seguente: Si supponga di avere un albero di decisione che verifica se qualche irriducibile polinomio f è diverso da zero. Stiamo lavorando su C , quindi possiamo solo verificare l'uguaglianza ma non abbiamo "<". Questa è la differenza importante rispetto al secondo esempio nella domanda! Ora prendiamo il percorso tipico, cioè il percorso seguito da quasi tutti gli input (seguiamo sempre il "- ≠ " -branch). Inoltre, prendi il percorso tipico di tutti gli elementi nella varietà V ( f ) . Sia v il nodo in cui questi due percorsi prendono per la prima volta un ramo diverso. Lascia h 1$\mathbb{C}$$f$$\mathbb{C}$$\not=$$V(f)$$v$ sia i polinomi che vengono testati lungo il prefisso comune dei due percorso. Poiché V ( f ) è chiuso, tutti gli elementi che si trovano in V ( f ) e che raggiungono v si trovano anche in V ( h m ) . Pertanto, se f ( x ) = 0 , allora uno dei h i annulla su x . Applichiamo la Nullstellensatz di Hilbert a h 1 ⋯ h m e otteniamo che f g $h_1,\dots,h_m$$V(f)$$V(f)$$v$$V(h_m)$$f(x) = 0$$h_i$$x$$h_1 \cdots h_m$ per alcuni polinomi g che sono coprimi di f . In breve, mentre non stiamo calcolando f , quandodecidiamose f ( x ) = 0 , dobbiamo calcolare f g per alcuni coprimi g .$f g = h_1 \cdots h_m$$g$$f$$f$$f(x) = 0$$fg$$g$

Makowski's "Algorithmic uses of the Feferman–Vaught Theorem" is possibly relevant. He defines polynomials by summing over MSOL-definable structures on graphs and shows that they are tractable to evaluate when graphs are tree-width bounded.

This doesn't say much about difference in complexity of testing/evaluation beyond being FPT. Testing for a value means asking if there exists a setting of variables such that given MSO2 formula on given graph evaluates to true, whereas evaluating involves enumerating over satisfying assignments of MSO2 formula. This seems to be related to the question of how complexity of counting SAT relates to complexity of SAT.

Edit 10/29 Another useful concept might be to look into Uniform Difficult Point Property. Apparently polynomials with this property are either easy to evaluate in all points, or hard to evaluate almost at every point. Makowski gives some references on slides 46-52 -- http://www.cs.technion.ac.il/admlogic/TR/2009/icla09-slides.pdf

I'm going to venture the idea that evaluating a polynomial $q(x)$ in $\mathbb F_p$ for fixed prime $p$ (or any finite field extension thereof, and with the coefficients restricted to the same field) will fit your criterion.

more concretely, lets consider a polynomial in $\mathbb F_2[x]$. We know that $x^2=x$ in $\mathbb F_2$, so if we assume that any polynomial is already in a reduced form when given as an input, we are left simply considering one of : $0,1,x,x+1$ and accordingly evaluating any of these polynomials at either of $0$ or $1$ takes at most 2 arithmetic operations.

I believe that a similar "constant time via fixed number of arithmetic operations" statement applies more generally for $\mathbb F_q$ where $q=p^n$ where $p$ is prime. note that if $n$ isn't fixed, this statement no longer is valid

I'm not sure if I understand the question correctly but let me attempt to shed some light.

Typically, evaluating a polynomial at certain values is easier than identity testing, especially when the representation of the polynomial is via a circuit (some succinct representation). However, there are lots of randomized identity testing algorithms (Schwarz-Zippel being the most straight-forward) that works on just evaluations.

In certain special cases, we have 'black-box' tests for identity testing where you can test if a polynomial is zero or not by just evaluating it at a predefined set of points. A simple example of this is if the polynomial is 'sparse' (just has $n^{O(1)}$ monomials). To make the exposition simpler, lets assume the polynomial is multilinear (each monomial is a product of distinct variables).

A natural way to send a multivariate multilinear polynomial to a univariate is via the substitution $x_i \mapsto y^{2^i}$. The resulting polynomial is say $\sum_{i\in S} \alpha_i y^{a_i}$. This could be an exponential degree polynomial of course but let us go modulo $y^r - 1$ for a small range of $r$'s. Now an $r$ would be "bad" for a pair of monomials if $y^a$ and $y^b$ get mapped to the same monomial modulo $y^r - 1$. Or in other words, $r$ divides $a - b$. Thus as long as $r$ does not divide $\prod_{i,j\in S} (a_i - a_j)$, this wouldn't happen. Hence it is sufficient to run over a polynomial range of $r$'s. Thus, it suffices to evaluate the polynomial at some roots of unities and we can figure out of the polynomial is zero or not.

There has been more progress in black-box identity testing algorithms. Right now, most of then stand at restricted depth 3 circuits (sum of products of sums of variables). (FWIW) Some of this is mentioned in more details in Chapter 3 and 4 of my M.Sc thesis. And there has been further improvements by Saxena and Seshadri recently as well.

Any #P problem, or even #P/poly, can be written as a polynomial: make a circuit out of NAND gates, write these as $1-xy$ where $x$ and $y$ are 0-1 valued integers, and sum over all inputs. This gives a polynomial in $\mathbb{Z}[x_1,...,x_n]$ for inputs of size $n$. The decision problem is testing whether this is 0.