Triangoli di apprendimento nel piano

Ho assegnato ai miei studenti il ​​problema di trovare un triangolo coerente con una raccolta di $m$ punti in $\mathbb{R}^2$ , etichettato con $\pm1$ . (Un triangolo $T$ è coerente con il campione etichettato se $T$ contiene tutti i punti positivi e nessuno dei punti negativi; per ipotesi, il campione ammette almeno 1 triangolo coerente).

Il meglio che loro (o I) potrebbero fare è un algoritmo che gira nel tempo $O(m^6)$ , dove $m$ è la dimensione del campione. Qualcuno può fare di meglio?

Come suggerisce @TsuyoshiIto, esiste un algoritmo per questo problema, dovuto a Edelsbrunner e Preparata. In effetti, il loro algoritmo trova un poligono convesso con il numero minimo possibile di spigoli che separa i due set di punti. Dimostrano anche un limite inferiore di Ω ( n log n ) per il problema più generale nel modello dell'albero delle decisioni algebrico; tuttavia, non è chiaro se questo limite inferiore si applica alla custodia del triangolo.$O(n\log n)$$\Omega(n\log n)$

Una descrizione completa dell'algoritmo è troppo lunga per essere pubblicata qui, ma ecco l'idea di base. Sia lo scafo convesso dei punti positivi. Per ogni punto negativo q , considerare le linee attraverso q tangenti a C . Queste linee dividono il piano in quattro spicchi, uno dei quali contiene C ; lasciate W ( q ) sia il cuneo opposto quello che contiene C . Infine, sia F (la "regione proibita") l'unione di tutti i cunei W ( q ) . Qualsiasi triangolo di separazione deve separare C da $C$$q$$q$$C$$C$$W(q)$$C$$F$$W(q)$$C$$F$. Sia che F possono essere costruiti in tempo O ( n log n ) .$C$$F$$O(n\log n)$

Etichettare i bordi di alternativamente in senso orario e antiorario. Edelsbrunner e Preparata inoltre dimostrare che se esiste un triangolo di separazione, allora v'è un triangolo che separa i cui bordi sono allineati con i bordi in senso orario di F . In O ( n ) tempo aggiuntivo, possiamo trovare il bordo (necessariamente in senso orario) di F colpito per la prima volta da un raggio da ciascun bordo in senso orario e ; chiama questo limite il "successore" di e . I puntatori successivi dividono i bordi in senso orario in cicli; se esiste un triangolo di separazione, uno di questi cicli successivi ha lunghezza 3 (e nessuno ha lunghezza superiore a 4).$F$$F$$O(n)$$F$$e$$e$

Vedi il documento originale per maggiori dettagli:

• Herbert Edelsbrunner e Franco P. Preparata. Separazione poligonale minima . Informazione e calcolo 77 (3): 218–232, 1988.

Mi sembra che sia sufficiente considerare le linee tangenti dai punti '-1' sullo scafo convesso dei punti '+1' come candidati per i lati di (diciamo che i punti '+1' saranno interni a T ).$T$$T$

Peccato, non posso pubblicare immagini qui. Ma immagina questo: è la linea tangente allo scafo convesso che attraversa un punto '-1'. A è il punto di tangenza. B è il punto estremo (vedi sotto) su t , e B C è la linea tangente dal punto B ( C è il punto di tangenza).$t$$A$$B$$t$$BC$$B$$C$

Quindi, l'algoritmo è il seguente. Per ogni linea delle linee tangenti possiamo provare a costruire un triangolo basato su di esso:$t$

1. Calcola i punti di intersezione di con tutte le altre linee;$t$
2. Trova un punto estremo (il più lontano da ) B e la linea corrispondente t ′ a destra (o sinistra) da A , in modo tale che lo psuedotriangolo A B C (= A B , B C e la parte dello scafo convesso tra A e C ) non contiene punti "-1" (ovvero non contiene punti).$A$$B$$t'$$A$$ABC$$AB$$BC$$A$$C$
3. Fai lo stesso con la linea e vedi se possiamo' chiudere 'il triangolo.$t'$

Sembra che questo sarebbe un tempo di esecuzione . Forse questo può essere migliorato usando alcune strutture di dati?$O(m^2)$