Sono possibili forme ricorsive dell'affermazione di Godel?

L'autoreferenzialità del problema P / NP è stata talvolta evidenziata come una barriera alla sua risoluzione, vedi, ad esempio, il documento di Scott Aaronson, P vs. NP è formalmente indipendente ? Una delle molte possibili soluzioni a P / NP sarebbe una dimostrazione che il problema è formalmente indipendente da ZFC o vero ma non dimostrabile.

È ipotizzabile che l'autoreferenzialità del problema possa rappresentare una sfida più profonda nelle prove di indipendenza, ad esempio se affermazioni sulla sua provabilità sono esse stesse non dimostrabili o altrimenti impossibili da ragionare.

Supponiamo di chiamare un teorema T Godel_0 se è vero ma non dimostrabile nel senso del teorema di Godel. Chiama T Godel_1 se la frase "T è Godel_0" è vera, ma non dimostrabile. Chiama T Godel_i se la frase "T è Godel _ {(i-1)} è vera.

Sappiamo che esistono affermazioni Godel_0 e alcuni esempi sono stati trovati "allo stato brado" che non sono stati costruiti esplicitamente per questo scopo, come in questo articolo .

La mia domanda è: esistono dichiarazioni Godel_1 o successive? Tali affermazioni sono una conseguenza naturale del teorema di Godel?

Che dire di un'affermazione su cui non possiamo provare assolutamente nulla: cioè, una per la quale per ogni k > 0, T è Godel_k?

Posso porre una domanda analoga per l'indipendenza formale, anche se sospetto che la risposta sia "no" lì.

Per tornare alla domanda P vs. NP, lasciami chiedere se c'è anche un indizio che il teorema di Godel è rilevante per le questioni di separabilità di classe. Sono state identificate affermazioni vere ma non dimostrabili rispetto alle classi di complessità - al di là, ovviamente, dell'ovvia connessione tra l'arresto del problema e il teorema di Godel?

Come altri hanno sottolineato, ci sono alcune difficoltà tecniche con la dichiarazione della tua domanda. Per raddrizzarli, iniziamo evitando l'uso del termine "non dimostrabile" senza qualifica, ed essere espliciti su quale insieme di assiomi la tua affermazione T dovrebbe essere non dimostrabile. Ad esempio, supponiamo che siamo interessati alle affermazioni T che non sono provabili da PA, gli assiomi dell'aritmetica di Peano del primo ordine.

Il primo fastidio è che "T è vero" non è espressibile nel linguaggio dell'aritmetica di primo ordine, secondo il teorema di Tarski. Potremmo aggirare questo problema lavorando in una metatheoria abbastanza potente da definire la verità di un'affermazione aritmetica, ma penso che per i tuoi scopi questa sia una strada inutilmente complicata da prendere. Penso che tu non sia così interessato alla verità in sé, ma alla dimostrabilità. Cioè, sospetto che saresti soddisfatto di definire T come Godel_0 se T è vero ma non dimostrabile in PA, e di definire T come Godel_1 se T non è dimostrabile in PA ma "T non è dimostrabile in PA" non è dimostrabile in PA, e definire T come Godel_2 se T non è dimostrabile in PA e "T non è dimostrabile in PA" non è dimostrabile in PA ma "'T non è dimostrabile in PA' non è dimostrabile in PA" non è dimostrabile in PA, ecc. In questo modo

Questo è sufficiente per rendere precisa la tua domanda, ma sfortunatamente esiste una soluzione piuttosto banale. Prendi T = "PA è coerente." Quindi T è vero perché PA è coerente, e T non è dimostrabile in PA dal secondo teorema di incompletezza di Goedel. Inoltre, "T non è dimostrabile in PA" è anche non dimostrabile in PA per una ragione un po 'sciocca: qualsiasi affermazione del modulo "X non è dimostrabile in PA" non è dimostrabile in PA perché "X non è dimostrabile in PA" implica banalmente "PA è coerente "(poiché i sistemi incoerenti dimostrano tutto ). Quindi T è Godel_n per tutte le n, ma non lo capisco davvero alla tua domanda.

Potremmo provare a "patchare" la tua domanda per evitare tali banalità, ma invece lasciami provare ad affrontare quella che penso sia la tua domanda prevista. Tacitamente, credo che stai fondendo la forza logica necessaria per dimostrare un teorema con la difficoltà psicologicadi provarlo. Cioè, interpreti un risultato della forma "T non è dimostrabile in X" come dire che T è in qualche modo al di là della nostra capacità di comprensione. Ci sono queste mostruose congetture là fuori, e noi umani puny rompiamo le fruste PA o le fruste ZFC o cosa hai in quelle bestie feroci, cercando di domarle. Ma non penso che "T non sia dimostrabile in X" debba essere interpretato nel senso che "T è impossibile da ragionare". Piuttosto, sta solo misurando una particolare proprietà tecnica su T, ovvero la sua forza logica. Quindi, se stai cercando di inventare l'über-monster, non penso che trovare qualcosa che non sia solo non dimostrabile, ma la cui indifferenza non sia dimostrabile, ecc., Sia la giusta direzione da percorrere.

Infine, per quanto riguarda la tua domanda se l'improvvisabilità sembra affatto correlata alla separabilità delle classi di complessità, ci sono alcune connessioni tra intrattabilità computazionale e non dimostrabilità in alcuni sistemi di aritmetica limitata. Parte di questo è menzionata nel documento di Aaronson che tu citi; vedi anche il libro di Cook e Nguyen: Logical Foundations of Proof Complexity .

Non sono così sicuro della definizione di Godel_1. Puoi provare a formalizzarlo un po 'di più?

Come puoi codificare la formula "T is Godel_0"? Per questo dovrai in qualche modo codificare che "T è semanticamente vero" senza fare riferimento alla nozione di prova. Come puoi farlo?

Le istruzioni Godel_n esistono per ogni n. Potresti essere interessato a The Unprovability of Consistency, un libro di George Boolos. Definisce una logica modale in cui Box significa "è dimostrabile", Diamond significa "è coerente" e quindi procede a indagare sul comportamento delle frasi di tipo Godel. (Ha anche scritto un libro di follow-up, The Logic of Provability.)