Piano proiettivo dell'ordine 12

Obiettivo : risolvere la congettura che non esiste un piano proiettivo di ordine 12.

Nel 1989, usando la ricerca al computer su un Cray, Lam ha dimostrato che non esiste un piano proiettivo di ordine 10. Ora che il numero di Dio per il cubo di Rubik è stato determinato dopo poche settimane di ricerche di forza bruta (oltre a un'intelligente matematica di simmetria), mi sembra che questo problema aperto di vecchia data potrebbe essere a portata di mano. (Inoltre forse potremmo usare tali tecniche per risolvere qualcosa di matematicamente fondamentale.) Spero che questa domanda possa servire da controllo di sanità mentale.

Il cubo è stato risolto riducendo la dimensione totale del problema a "solo" 2.217.093.120 test distinti, che potevano essere eseguiti in parallelo.

Domande:

Sono stati mostrati diversi casi speciali di inesistenza. Qualcuno sa, se rimuoviamo quelli e cerchiamo esaurientemente il resto, se la dimensione del problema è nell'ordine della ricerca del cubo? (Forse sperare tanto che qualcuno lo sappia ....)
Qualche informazione parziale in questa vena?

Modificato per aggiungere: ho posto questa domanda su MathOverflow qui . Finora sembra che non si ottenga alcuna riduzione dello spazio di ricerca dai risultati parziali noti. Non conosco ancora le dimensioni dello spazio di ricerca totale.

open-problem

— Aaron Sterling
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conosci qualche buon riferimento per i casi speciali di inesistenza che hai citato? O forse, solo un riferimento / insieme generale di riferimenti per il caso dell'ordine 12?

— Daniel Apon,

Questo sembra più adatto per MathOverflow. Esiste una forte connessione con l'informatica teorica? (D'altra parte: quanto è difficile decidere, dato un numero intero n, se esiste un piano proiettivo di ordine n? Tempo polinomiale? NP-difficile? Peggio?)

— Jeffε

@JeffE, grazie, mi chiedevo se avrei dovuto chiederlo lì. Penso che potrebbe essere un'applicazione del TCS alla combinatoria, ma non lo vedo come un risultato "importante", solo un frutto ad alto potenziale che ora potrebbe essere basso a causa delle velocità del processore e del cloud. Non conosco la risposta al tuo problema decisionale. Quindi ... aspetterò qualche giorno, quindi pubblicherò su MO, collegandomi qui.

— Aaron Sterling,

Mi piace la riformulazione di Jeff. Forse vale la pena pubblicare come un'altra domanda :)

— Suresh Venkat,

Vedo la potenziale applicazione dell'informatica alla combinatoria, non solo all'informatica teorica , che è (secondo i miei pregiudizi) circa il comportamento limitante del calcolo man mano che la dimensione dell'input cresce all'infinito. Trovare il numero di Dio è stato un risultato tecnico impressionante, ma non è chiaro che abbia richiesto una visione algoritmica o che avrà un impatto algoritmico. (Mi piacerebbe essere corretto su questo punto.)

— Jeffε

Risposte:

(Più un commento che una risposta :)

Esistono piani proiettivi finiti per valori di n che sono poteri di un primo, e ci sono infiniti valori di n che sono esclusi da un teorema di RH Bruck e H. Ryser, che è stato generalizzato per bloccare i disegni di Chowla:

http://en.wikipedia.org/wiki/Bruck%E2%80%93Chowla%E2%80%93Ryser_theorem

n = 10, come è stato affermato, è stato risolto (nessun piano esiste) da una ricerca di computer, quindi il primo valore di n non escluso da Bruck-Ryser è n = 12. Tuttavia, il lavoro al computer non sembra dare nuove intuizioni come al fatto che ci siano o meno solo i piani di potenza primaria. Ciò che sembra essere necessario sono nuovi metodi matematici per comprendere la congettura comunemente fatta che esistono solo i piani di potere primari.

— Joseph Malkevitch
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C'è una congettura che dice che, se sigma (n)> 2n, allora non esiste un piano proiettivo finito (FPP) dell'ordine n, né un insieme completo di quadrato latino reciprocamente ortogonale (CMOLS) che gli corrisponde. Dove sigma (n) indica la somma dei divisori positivi di n incluso n stesso. In effetti, quando sigma (n)> 2n significa che n è un numero abbondante. e 12 è il numero più piccolo e abbondante esistente. Di seguito sono riportati tutti i numeri abbondanti per 1> n> 500: 12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, 104, 108, 112, 114, 120, 126, 132, 138, 140, 144, 150, 156, 160, 162, 168, 174, 176, 180, 186, 190, 196, 198, 200, 204, 210, 216, 220, 222, 224, 228, 234, 240, 246, 252, 258, 260, 264, 270, 272, 276, 280, 282, 294, 300, 304, 306, 308, 312, 318, 320, 324, 330, 336, 340, 342, 348, 350, 352, 354, 360, 364,

da On Projective Planes of Order 12 di Muatazz Abdolhadi Bashir e Andrew Rajah

— Bashir
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