Esistenza di "matrici da colorare"

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Modifica: ora c'è una domanda di follow-up relativa a questo post.

definizioni

Sia $c$ e $k$ numeri interi. Usiamo la notazione $[i] = \{1,2,...,i\}$ .

Un $c \times c$ matrice $M = (m_{i,j})$ è detto essere un $c$ -a-- $k$ colorazione matrice se vale quanto segue:

abbiamo $m_{i,j} \in [k]$ per tutti $i, j \in [c]$ ,
per tutti $i,j,\ell \in [c]$ con $i \ne j$ e $j \ne \ell$ abbiamo $m_{i,j} \ne m_{j,\ell}$ .

$c \leadsto k$ $c$ $k$

Si noti che gli elementi diagonali sono irrilevanti; Ci interessa solo negli elementi non diagonali di . $M$

La seguente prospettiva alternativa può essere utile. Sia sia l'insieme di elementi non diagonali nella riga e allo stesso modo sia sono l'insieme di elementi non diagonali nella colonna . Ora è una matrice di colorazione to- iff per tutti . Cioè, la riga e la colonna devono essere costituite da elementi distinti (tranne, ovviamente, in diagonale). $R(M,\ell) = \{ m_{\ell,i} : i \ne \ell \}$ $\ell$ $C(M,\ell) = \{ m_{i,\ell} : i \ne \ell \}$ $\ell$ $M$ $c$ $k$

R (M, ℓ) \subseteq [k], C (M, ℓ) \subseteq [k], R (M, ℓ) \cap C (M, ℓ) = \emptyset

$R(M,\ell) \subseteq [k], \quad C(M,\ell) \subseteq [k], \quad R(M,\ell) \cap C(M,\ell) = \emptyset$

ℓ \in [c]

$\ell \in [c]$

ℓ

$\ell$

ℓ

$\ell$

Potrebbe essere utile o meno provare a interpretare come un tipo speciale di funzione hash da a . $M$ $[c]^2$ $[k]$

Esempi

Ecco una matrice di colorazione da a : $6$ $4$

[\begin{matrix} - & 2 & 2 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & - & 3 & 1 & 1 & 1 \\ 4 & 4 & - & 1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 2 & - & 3 & 2 \\ 4 & 2 & 2 & 4 & - & 2 \\ 3 & 4 & 3 & 4 & 3 & - \end{matrix}] .

$\begin{bmatrix} -&2&2&1&1&1\\ 3&-&3&1&1&1\\ 4&4&-&1&1&1\\ 3&2&2&-&3&2\\ 4&2&2&4&-&2\\ 3&4&3&4&3&- \end{bmatrix}.$

In generale, è noto che per ogni abbiamoAd esempio, e . Per vedere questo, possiamo usare la seguente costruzione (ad esempio, Naor & Stockmeyer 1995). $n \ge 2$

(\binom{2 n}{n}) ⇝ 2 n .

${2n \choose n} \leadsto 2n.$

20 ⇝ 6

$20 \leadsto 6$

6 ⇝ 4

$6 \leadsto 4$

Sia e sia . Sia una biiezione da all'insieme di tutti gli sottoinsieme di , cioè e per tutti . Per ogni con , scegli arbitrariamente $c = {2n \choose n}$ $k = 2n$ $f$ $[c]$ $n$ $[2n]$ $f(i) \subseteq [2n]$ $|f(i)| = n$ $i$ $i,j \in [c]$ $i \ne j$

m_{i, j} \in f (i) ∖ f (j) .

$m_{i,j} \in f(i) \setminus f(j).$

Si noti che . È semplice verificare che la costruzione sia effettivamente una matrice colorante; in particolare, abbiamo e . $f(j) \setminus f(i) \ne \emptyset$ $R(M,\ell) = f(\ell)$ $C(M,\ell) = [k] \setminus f(\ell)$

Domanda

La costruzione sopra è ottimale? In altre , abbiamo per qualsiasi ?

(\binom{2 n}{n}) + 1 ⇝ 2 n

${2n \choose n} + 1 \leadsto 2n$

n \geq 2

$n \ge 2$

È noto che la costruzione di cui sopra è asintoticamente stretta; necessariamente . Ciò segue, ad esempio, dal risultato di Linial (1992) o da una semplice applicazione della teoria di Ramsey. Ma per me non è chiaro se la costruzione sia anche stretta alle costanti. Alcuni esperimenti numerici suggeriscono che la costruzione di cui sopra potrebbe essere ottimale. $k = \Omega(\log c)$

Motivazione

La domanda è collegata all'esistenza di algoritmi distribuiti rapidamente per la colorazione dei grafi. Ad esempio, supponiamo che ci venga dato un albero diretto (tutti i bordi orientati verso un nodo radice) e supponiamo che ci venga dato un corretto colore dell'albero. Ora esiste un algoritmo distribuito che calcola una corretta colorazione dell'albero in round di comunicazione sincrona se e solo se . $c$ $k$ $1$ $c \leadsto k$

co.combinatorics lower-bounds dc.distributed-comp

— Jukka Suomela
fonte

Nella visualizzazione matematica in "prospettiva alternativa", [c] dovrebbe leggere [k]. Sulla riga che segue, “for all l \ in [k]” dovrebbe leggere “for all l \ in [c]”.

— Tsuyoshi Ito,

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La costruzione è ottimale, nel senso che non può reggere. Infatti, è facile vedere che c -a-- k colorazione matrice esiste se e solo se esistono c sottoinsiemi A ₁ , ..., A _c dell'insieme {1, ..., k } tale che nessuna distinto i e j soddisfano A _io ⊆ A _j . (Per la direzione "solo se", prendi A _i = R ( M , i ) per una matrice di colorazione c- to- k $\binom{2n}{n}+1 \leadsto n$ M . Per la direzione "if", imposta m _ij ∈ A _i ∖ A _j .) Una famiglia di insiemi nessuno dei quali contiene un altro è chiamata famiglia Sperner , ed è il teorema di Sperner che il numero massimo di insiemi in una famiglia Sperner sul l'universo di dimensione k è . Ciò implica che . $\binom{k}{\lfloor k/2\rfloor}$ $c \leadsto k \iff c \le \binom{k}{\lfloor k/2\rfloor}$

— Tsuyoshi Ito
fonte

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Oh, giusto, pensavo che le file avrebbero dovuto formare una famiglia Sperner, ma non ho visto come dimostrarlo. Ma hai assolutamente ragione: se abbiamo , allora , e quindi . È stato facile, molte grazie!

R (M, i) \subseteq R (M, j)

$R(M,i) \subseteq R(M,j)$

m_{i, j} \in R (M, i) \subseteq R (M, j)

$m_{i,j} \in R(M,i) \subseteq R(M,j)$

C (M, j) \cap R (M, j) \neq \emptyset

$C(M,j) \cap R(M,j) \ne \emptyset$

— Jukka Suomela,

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Per un asintotico leggermente più stretto, si potrebbe dimostrare che:

se , quindi $c \leadsto k$ $c \leq 2^k$

Supponiamo che vi sia una colorazione di una matrice usando colori. Ora, colora ciascuna riga della matrice in base all'insieme di colori presenti in essa contenuti. Questo dà una colorazione delle righe usando sottoinsiemi di . Righe diverse devono avere colori diversi. Altrimenti, supponiamo che per , la riga abbia lo stesso colore della riga . Ciò significa che il colore di è presente sia nella riga che nella colonna che contraddice il fatto che abbiamo iniziato con una colorazione. Ne segue che $c \times c$ $k$ $[k]$ $i \lt j$ $i$ $j$ $(i,j)$ $j$ $j$ $c \leq 2^k$

— HBM
fonte

Non sono sicuro di cosa tu stia sostenendo che la tua analisi sia più rigorosa di, ma per favore vedi la mia risposta per il limite esatto.

— Tsuyoshi Ito,