Limiti inferiori per le formule a profondità costante?

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Sappiamo molto dei limiti dei circuiti (dimensioni polinomiali) a profondità costante. Poiché le formule (dimensione polinomiale) di profondità costante sono un modello di calcolo ancora più limitato, tutti i problemi noti per non essere in AC ⁰ non sono calcolabili con una formula di profondità costante. Tuttavia, poiché è un modello più semplice, immagino che ci siano più problemi noti che non sono calcolabili in questo modello. Questo è stato studiato? (Suppongo sia stato, ma probabilmente non sto usando i giusti termini di ricerca.)

In particolare, sono interessato alla seguente domanda: esiste qualche funzione f, che può essere calcolata da un circuito AC ⁰ di dimensione S, ma necessita di una formula a profondità costante di dimensione almeno quadratica in S o super polinomiale in S? Qual è il risultato più noto di questo tipo?

Nel caso in cui non sia chiaro cosa intendo per formula a profondità costante, intendo una formula che se scrivi come un albero (con nodi interni che sono porte AND / OR / NOT e foglie che sono input), allora l'albero ha costante altezza. Equivalentemente, una formula a profondità costante è un circuito a profondità costante in cui tutte le porte non in ingresso hanno una dissolvenza 1.

cc.complexity-theory circuit-complexity lower-bounds

— Robin Kothari
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È facile convertire un circuito a profondità costante in una formula a profondità costante della stessa profondità con aumento della dimensione polinomiale, facendo copie di cancelli utilizzate più di una volta. Se la profondità del circuito è e la sua dimensione è , la formula avrà profondità e dimensione . Pertanto la risposta è no. $d$ $O(p(n))$ $d$ $O((p(n))^d)$

— Kaveh
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questo dà più di un aumento quadratico delle dimensioni. (Tuttavia, non un aumento super polinomiale, ovviamente.)

— Iddo Tzameret,

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Grazie per la risposta. Qualche idea su una particolare funzione f che ha un circuito a profondità costante di dimensione S, ma necessita di una formula di dimensione S ^ 2, o S ^ 10, ecc.?

— Robin Kothari,

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Penso che la relazione tra profondità e dimensioni del circuito sia ancora aperta (è noto che "profondità" è teta della dimensione della formula). Vedi i capitoli 7 e 8 del libro di Wegener "Complessità delle funzioni booleane" per alcune funzioni con limiti espliciti della dimensione della formula. Ce n'è uno con un aumento quasi quadratico (

), non ho notato niente di meglio.

n^{2} / l o g n

$n^2/log n$

— Kaveh,

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Questa domanda è stata completamente risolta (fino a fattori costanti) da un recente risultato di Benjamin Rossman ( http://eccc.hpi-web.de/report/2013/169/ ).

Come Kaveh sottolinea sopra, una profondità , dimensione , il circuito può essere convertita in una profondità , dimensione formula . $d$ $S$ $d$ $S^d$

Rossman mostra che questo è essenzialmente stretto. Per qualsiasi profondità , mostra una funzione che può essere calcolata da un circuito a profondità costante di profondità e dimensione , ma qualsiasi formula a profondità costante (o anche un $d$ $d$ $S = O(n^3)$ -depth formula) richiede la dimensione per calcolarlo. $\sqrt{\log n}$ $S^{\Omega(d)}$

(Ho dimenticato di dirlo prima: grazie a Benjamin Rossman per avermi informato di questo risultato.)

— Robin Kothari
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