Limiti inferiori per le formule a profondità costante?


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Sappiamo molto dei limiti dei circuiti (dimensioni polinomiali) a profondità costante. Poiché le formule (dimensione polinomiale) di profondità costante sono un modello di calcolo ancora più limitato, tutti i problemi noti per non essere in AC 0 non sono calcolabili con una formula di profondità costante. Tuttavia, poiché è un modello più semplice, immagino che ci siano più problemi noti che non sono calcolabili in questo modello. Questo è stato studiato? (Suppongo sia stato, ma probabilmente non sto usando i giusti termini di ricerca.)

In particolare, sono interessato alla seguente domanda: esiste qualche funzione f, che può essere calcolata da un circuito AC 0 di dimensione S, ma necessita di una formula a profondità costante di dimensione almeno quadratica in S o super polinomiale in S? Qual è il risultato più noto di questo tipo?

Nel caso in cui non sia chiaro cosa intendo per formula a profondità costante, intendo una formula che se scrivi come un albero (con nodi interni che sono porte AND / OR / NOT e foglie che sono input), allora l'albero ha costante altezza. Equivalentemente, una formula a profondità costante è un circuito a profondità costante in cui tutte le porte non in ingresso hanno una dissolvenza 1.

Risposte:


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È facile convertire un circuito a profondità costante in una formula a profondità costante della stessa profondità con aumento della dimensione polinomiale, facendo copie di cancelli utilizzate più di una volta. Se la profondità del circuito è e la sua dimensione è , la formula avrà profondità e dimensione . Pertanto la risposta è no.dO(p(n))dO((p(n))d)


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questo dà più di un aumento quadratico delle dimensioni. (Tuttavia, non un aumento super polinomiale, ovviamente.)
Iddo Tzameret,

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Grazie per la risposta. Qualche idea su una particolare funzione f che ha un circuito a profondità costante di dimensione S, ma necessita di una formula di dimensione S ^ 2, o S ^ 10, ecc.?
Robin Kothari,

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Penso che la relazione tra profondità e dimensioni del circuito sia ancora aperta (è noto che "profondità" è teta della dimensione della formula). Vedi i capitoli 7 e 8 del libro di Wegener "Complessità delle funzioni booleane" per alcune funzioni con limiti espliciti della dimensione della formula. Ce n'è uno con un aumento quasi quadratico ( ), non ho notato niente di meglio. n2/logn
Kaveh,

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Questa domanda è stata completamente risolta (fino a fattori costanti) da un recente risultato di Benjamin Rossman ( http://eccc.hpi-web.de/report/2013/169/ ).

Come Kaveh sottolinea sopra, una profondità , dimensione S , il circuito può essere convertita in una profondità d , dimensione S formula d .dSdSd

Rossman mostra che questo è essenzialmente stretto. Per qualsiasi profondità , mostra una funzione che può essere calcolata da un circuito a profondità costante di profondità d e dimensione S = O ( n 3 ) , ma qualsiasi formula a profondità costante (o anche un ddS=O(n3) -depth formula) richiede la dimensioneS Ω ( d ) per calcolarlo.lognSΩ(d)

(Ho dimenticato di dirlo prima: grazie a Benjamin Rossman per avermi informato di questo risultato.)

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