Corrispondenza tra classi di complessità e logica

Ho seguito una lezione di computabilità e logica. Il materiale includeva una correlazione tra classi di complessità / calcolabilità (R, RE, co-RE, P, NP, Logspace, ...) e Logica (calcolo predicato, logica del primo ordine, ...).

La correlazione includeva diversi risultati in un campo, ottenuti usando tecniche dell'altro campo. È stato ipotizzato che P! = NP potesse essere attaccato come un problema in Logic (proiettando il problema dal dominio delle classi di complessità alla logica).

C'è un buon riassunto di queste tecniche e risultati?

È possibile che tu stia chiedendo dei risultati nella teoria dei modelli finiti (come la caratterizzazione di P e NP in termini di vari frammenti di logica). La recente tentata dimostrazione di P! = NP inizialmente ha fatto un uso pesante di tali concetti e alcuni buoni riferimenti (presi dal wiki ) sono

• Revisione di Erich Gradel di FMT e complessità descrittiva
• L'articolo di Ron Fagin sulla complessità descrittiva

Neil Immerman ha prodotto un bellissimo diagramma che fornisce corrispondenze a colpo d'occhio tra classi di complessità e logiche interpretate da modelli finiti. È sulla copertina del suo libro, e anche in fondo alla sua pagina web qui: http://www.cs.umass.edu/~immerman/

Conosco due modi per associare la logica alle classi di complessità. Il primo è la complessità descrittiva che è teorica modello menzionata in altre risposte. (Tornando alla caratterizzazione di Ronald Fagin di )$NP$

Il secondo approccio (che è anche un po 'più vecchio e risale al lavoro di persone come Steve Cook e Sam Buss) è una dimostrazione teorica. Qui una classe di complessità è associata alle teorie dell'aritmetica. Le funzioni di totale dimostrazione di queste teorie sono esattamente le funzioni della classe di complessità. Ad esempio, le funzioni totalmente dimostrabili della teoria di Sam Buss sono funzioni calcolabili nel tempo esattamente polinomiali. Esistono anche collegamenti con i sistemi di prova proposizionale. Per ulteriori informazioni su questo approccio, consultare il libro di Jan Krajicek "Aritmetica limitata, logica proposizionale e teoria della complessità", 1995, oppure Stephen A. Cook e Phuong Il libro più recente del Nguyen "FONDAMENTI LOGICI DELLA COMPLESSITÀ DELLA PROVA", 2010 (è possibile trovare una bozza qui ).$S^1_2$

Antonina Kolokolova ha lavorato sulle relazioni tra questi due approcci.

Per coloro che non hanno familiarità con la moltitudine di acronimi trovati nel grande diagramma di Immerman c'è un articolo di Wikipedia sulla complessità descrittiva . Dovrebbe esserci un diagramma con collegamenti, in modo da poter cercare direttamente la definizione in Complexity Zoo e altre fonti. Mi piacerebbe anche vedere meglio le relazioni con le lingue / grammatiche formali corrispondenti e dove puoi trovare la prova.

Questa non è una risposta, ma un commento alla risposta di Aaronne, che non posso commentare per qualche motivo.