Grado approssimativo di

EDIT (v2): aggiunta una sezione alla fine su ciò che so del problema.

EDIT (v3): aggiunta discussione sul grado di soglia alla fine.

Domanda

Questa domanda è principalmente una richiesta di riferimento. Non so molto del problema. Voglio sapere se ci sono stati lavori precedenti su questo problema e, in tal caso, qualcuno può indicarmi qualche documento che parla di questo problema? Mi piacerebbe anche conoscere i migliori limiti attuali sul grado approssimativo di . Anche qualsiasi altra informazione sarebbe apprezzata (ad es. Informazioni storiche, motivazione, relazione con altri problemi, ecc.).$\textrm{AC}^0$

definizioni

Sia una funzione booleana. Sia un polinomio sulle variabili da a x_n con coefficienti reali. Il grado di un polinomio è il massimo grado su tutti i monomi. Il grado di un monomio è la somma degli esponenti dei vari x_i che compaiono in quel monomio. Ad esempio \ textrm {deg} (x_1 ^ 7x_3 ^ 2) = 9 .p x 1 x n x i deg ( x 7 1 x 2 3 ) = $f:\{0,1\}^n \to \{0,1\}$$p$$x_1$$x_n$$x_i$$\textrm{deg}(x_1^7x_3^2) = 9$

Si dice che un polinomio p \ epsilon -approximate f se | f (x) -p (x) | <\ epsilon per tutti x . Il grado \ epsilon- approssimativo di una funzione booleana f , indicato come \ widetilde {\ textrm {deg}} _ {\ epsilon} (f) , è il grado minimo di un polinomio che \ epsilon -approximates f . Per un insieme di funzioni, F , \ widetilde {\ textrm {deg}} _ {\ epsilon} (F) è il grado minimo d tale che ogni funzione in F può essere \ epsilon- approssimata da un polinomio di grado al massimo d$p$$\epsilon$$f$$|f(x)-p(x)|<\epsilon$$x$$\epsilon$$f$$\widetilde{\textrm{deg}}_{\epsilon}(f)$$\epsilon$$f$$F$$\widetilde{\textrm{deg}}_{\epsilon}(F)$$d$$F$$\epsilon$$d$.

Si noti che ogni funzione può essere rappresentata senza errori da un polinomio di grado $n$ . Alcune funzioni necessitano davvero di un grado $n$ polinomiale per avvicinarsi a qualsiasi errore costante. La parità è un esempio di tale funzione.

Dichiarazione problema

Che cos'è $\widetilde{\textrm{deg}}_{1/3}(\textrm{AC}^0)$ ? (La costante 1/3 è arbitraria.)

Gli appunti

Ho riscontrato questo problema nel documento The Quantum Query Complexity of AC0 di Paul Beame e Widad Machmouchi. Dicono

Inoltre, i nostri risultati non fanno nulla per colmare il divario nel limite inferiore del grado approssimativo delle funzioni AC0.

Citano anche "il problema del grado approssimativo di AC0" nei loro riconoscimenti.

Quindi suppongo che ci sia stato qualche lavoro su questo problema prima? Qualcuno può indicarmi un documento che parla del problema? E quali sono i limiti superiore e inferiore più noti?

Quello che so sul problema (Questa sezione è stata aggiunta nella v2 della domanda)

Il limite superiore più noto su che è noto è il limite superiore banale . Il limite inferiore migliore che conosco proviene dal limite inferiore di Aaronson e Shi per i problemi di collisione e distinzione di elementi, che fornisce un limite inferiore di . (Per le versioni severamente limitate di , come le formule con dimensione della formula o circuiti di profondità 2 con porte , possiamo dimostrare un limite superiore usando la complessità della query quantistica.)n ~ Ω (n2/3)AC0o(n2)o(n2)o(n$\widetilde{\textrm{deg}}_{1/3}(\textrm{AC}^0)$$n$$\tilde{\Omega}(n^{2/3})$$\textrm{AC}^0$$o(n^2)$$o(n^2)$$o(n)$

Correlati: grado soglia (aggiunto in v3)

Come Tsuyoshi sottolinea nei commenti, questo problema è legato al problema di determinare il grado di soglia di . Il grado di soglia di una funzione è il grado minimo di un polinomio tale che e . fpf(x)=$\textrm{AC}^0$$f$$p$f ( x ) = $f(x)=1 \implies p(x)>0$$f(x)=0 \implies p(x)<0$

Sherstov ha ora migliorato i limiti inferiori per il grado di soglia di . Espone una famiglia di formule read-once a profondità costante su variabili il cui livello soglia si avvicina a mentre la profondità va all'infinito, il che è quasi stretto poiché le formule read-once hanno soglia (e persino approssimative ) grado . Vedi http://eccc.hpi-web.de/report/2014/009/ . (Gennaio 2014)$\mathrm{AC}^0$$n$$\Omega(\sqrt{n})$$O(\sqrt{n})$

Un articolo di Mark Bun e Justin Thaler è stato pubblicato di recente sull'ECCC (metà marzo 2017) che risponde precisamente a questa domanda: "Un limite inferiore quasi ottimale al grado approssimativo di AC0"

Essi affermano che per ogni , esiste una funzione f in A C 0 tale che ~ d e g 1 / 3 ( f ) = Ω ( n 1 - δ ) , quasi chiudendo il divario con il banale O ( n ) limite superiore. Raggiungono questo obiettivo con un metodo generale per aumentare il grado approssimativo di una funzione con grado approssimativo sublineare, mantenendo il numero di variabili quasi lineare. Dall'abstract:$\delta > 0$$f$$\mathrm{AC}^0$$\widetilde{\mathrm{deg}}_{1/3}(f) = \Omega(n^{1-\delta})$$O(n)$

Specificamente, mostriamo come trasformare qualsiasi funzione booleana con approximate grado d in una funzione F su O ( n ⋅ p o l y l o g ( n ) ) variabili con grado approssimativo almeno D = Ω ( n 1 / 3 · d 2 / 3 ) . In particolare, se d = n 1 - Ω ( 1 ) , quindi $f$$d$$F$$O(n \cdot \mathrm{polylog}(n))$$D = Ω(n^{1/3} · d^{2/3} )$$d = n^{1−Ω(1)}$$D$è polinomialmente maggiore di . Inoltre, se f è calcolato un polinomio dimensioni booleana circuito di profondità costante, allora lo è F .$d$$f$$F$

Questo è l'ultimo aggiornamento sull'estremità inferiore di questo problema ed è un notevole passo avanti. Le sezioni Introduzione e Applicazione dell'articolo sono anche buone fonti di riferimenti per lavori precedenti e problemi correlati.

Disclaimer: non ho ancora letto attentamente il documento.