Estensione dei modelli di calcolo lambda

Sto traducendo un libro su LISP e naturalmente tocca alcuni elementi del calcolo . Quindi, una nozione di estendibilità è menzionata lì accanto ad alcuni modelli di -calculus, vale a dire: e (sì, con l'infinito in alto). E si dice che sia estensivo mentre no. $\lambda$ $\lambda$ $\mathcal{P}_\omega$ $D^\infty$ $\mathcal{P}_\omega$ $D^\infty$

Ma ... stavo guardando attraverso il Lambda Calculus di Barendregt , è sintassi e semantica , e (si spera, correttamente) leggevo esattamente il contrario: non è estensivo, è. $\mathcal{P}_\omega$ $D_\infty$

Qualcuno sa di quello strano modello ? Potrebbe essere lo stesso modello di , ma scritto erroneamente? Ho ragione sull'estensione dei modelli? $D^\infty$ $D_\infty$

Grazie.

— Chris
fonte

Ti dispiacerebbe dare un contesto per il libro LISP? Ha riferimenti per i risultati o i modelli a cui si riferisce?

— cody

Sì, è LISP in Piccoli pezzi di Christian Queinnec , p. 153. L'estratto con la menzione: [...] Da allora, le proprietà sono state estese in diversi modi, producendo diversi modelli:

in [Sco76, Sto77]. [...] Stranamente,

è un'estensione perché due funzioni che calcolano la stessa cosa in ogni punto sono uguali, mentre

non è un'estensione. [...] Sco76 sta per Tipi di dati di Dana Scotts come reticoli . Sto77 è l'acronimo di Joseph Stoys 'Denotational Semantics: The Scott-Stachey Approach to Programming Language Theory .

D^{\infty}

$D^\infty$

P_{ω}

$P_\omega$

P_{ω}

$P_\omega$

D^{\infty}

$D^\infty$

— Chris

Grazie! In quel caso è probabile che ci fosse un refuso, che

sta per

e che è

che non è estensivo.

D^{\infty}

$D^\infty$

D_{\infty}

$D_\infty$

P_{ω}

$P_\omega$

— cody

Presumo che per estensione si intenda la legge Se questo è quello che vuoi dire allora il modello grafico ènonestensionale, mentre Dana Scott è (presumo è modello della Dana Scott -calcolo).

(\forall X . f X = g X) ⟹ f = g .

$(\forall x . f x = g x) \implies f = g.$

P ω

$\mathcal{P}\omega$

D_{\infty}

$D_\infty$

D^{\infty}

$D^\infty$

β ξ η λ

$\beta\xi\eta\lambda$

Per vedere ciò, ricorda che è un reticolo algebrico con la proprietà che il suo spazio di mappe continue è una retrazione corretta di , cioè ci sono mappe continue e tale che ma $\mathcal{P}\omega$ $[\mathcal{P}\omega \to \mathcal{P}\omega]$ $\mathcal{P}\omega$

Λ : P ω \to [P ω \to P ω]

$\Lambda : \mathcal{P}\omega \to [\mathcal{P}\omega \to \mathcal{P}\omega]$

Γ : [P ω \to P ω] \to P ω

$\Gamma : [\mathcal{P}\omega \to \mathcal{P}\omega] \to \mathcal{P}\omega$

Λ \circ Γ = i d

$\Lambda \circ \Gamma = \mathrm{id}$

. Dato

, l'applicazione

viene interpretata come

tale che

(questi esistono perché

). Quindi per tutti i

che abbiamo

Γ \circ Λ \neq i d

$\Gamma \circ \Lambda \neq \mathrm{id}$

u, v \in P ω

$u, v \in \mathcal{P}\omega$

u v

$u v$

Λ (u) (v)

$\Lambda(u)(v)$ . Ora prendete

u

$u$

u^{'}

$u'$

u \neq u^{'}

$u \neq u'$

Λ (u) = Λ (v)

$\Lambda(u) = \Lambda(v)$

Γ \circ Λ \neq i d

$\Gamma \circ \Lambda \neq \mathrm{id}$

v

$v$

ancora

. L'estensione è violata.

u v = u v^{'}

$u v = u v'$

u \neq u^{'}

$u \neq u'$

Al contrario, è isomorfo a , cioè ci sono mappe continue e per tutto . Ciò significa che per tutti $[D_\infty \to D_\infty]$ $D_\infty$

Λ : D_{\infty} \to [D_{\infty} \to D_{\infty}]

$\Lambda : D_\infty \to [D_\infty \to D_\infty]$

che sono inverse di ciascun altro. Quindi considera qualsiasi

e supponi che

Γ : [D_{\infty} \to D_{\infty}] \to D_{\infty}

$\Gamma : [D_\infty \to D_\infty] \to D_\infty$

u, u^{'} \in D_{\infty}

$u, u' \in D_\infty$

u v = u^{'} v

$u v = u' v$

v \in D_{\infty}

$v \in D_\infty$

Λ (u) (v) = Λ (u^{'}) (v)

$\Lambda(u)(v) = \Lambda(u')(v)$

, quindi

v \in D_{\infty}

$v \in D_\infty$

e quindi

Λ (u) = Λ (u^{'})

$\Lambda(u) = \Lambda(u')$

. L'estensione è stabilita.

u = Γ (Λ (u)) = Γ (Λ (u^{'})) = u^{'}

$u = \Gamma(\Lambda(u)) = \Gamma(\Lambda(u')) = u'$

$\Gamma \circ \Lambda = \mathrm{id}$ $\Lambda \circ \Gamma = \mathrm{id}$ $\lambda$

λ X . u (X) = Γ (v \mapsto u (v))

$\lambda X. u(X) = \Gamma (v \mapsto u(v))$

u (X)

$u(X)$

X

$X$

v

$v$

u (v)

$u(v)$

λ

$\lambda$

λ X . u (X)

$\lambda X . u(X)$

Γ

$\Gamma$

Λ \circ Γ = i d

$\Lambda \circ \Gamma = \mathrm{id}$

(λ X . u (X)) w = Λ (Γ (v \mapsto u (v))) (w) = (v \mapsto u (v)) (w) = u (w)

$(\lambda X . u(X)) w = \Lambda (\Gamma (v \mapsto u(v))) (w) = (v \mapsto u(v))(w) = u(w)$

β

$\beta$

— Andrej Bauer
fonte

Grazie mille. Quindi supporrò che ci sia un errore di fatto nel libro. Ciò potrebbe essere possibile, perché il libro stesso è una traduzione dal francese e potrebbero esserci degli shenanigans doppia negazione in quel paragrafo del libro originale, o qualcosa del genere. Sfortunatamente, non ne ho uno francese da provare almeno a controllare.

— Chris,

Il francese è irrilevante, hai la prova davanti ai tuoi occhi.

— Andrej Bauer,

λ

$\lambda$