Limiti inferiori del circuito e complessità di kolmogorov

Considera il seguente ragionamento:

Consenti a indicare la complessità di Kolmogorov della stringa . Il teorema di incompletezza di Chaitin lo dice $K(x)$ $x$

per qualsiasi sistema uniforme e sufficientemente forte formale , esiste una costante (seconda solo sul sistema formale e lingua) tale che per qualsiasi stringa , non può dimostrare che . $S$ $T$ $x$ $S$ $K(x) \geq T$

Sia una funzione booleana su variabili se la complessità di Kolmogorov del suo spettro è al massimo . Sia la complessità del circuito di , ovvero la dimensione del calcolo minimo del circuito . $f_n$ $n$ $k$ $S(f_n)$ $f_n$ $f_n$

Un limite superiore (approssimativo) per è per una costante e è una funzione di castoro occupato (i passi massimi possibili a l'arresto della macchina di Turing con una descrizione della dimensione può eseguire). (Per ogni nello spettro, costruisci il minterm del corrispondente incarico di verità e prendi insieme OR di tutti questi minterm.) $S(f_n)$

S (f_{n}) \leq c \cdot B B (k) \cdot n

$S(f_n)\leq c\cdot BB(k) \cdot n$

c

$c$

B B (k)

$BB(k)$

k

$k$

1

$1$

Supponiamo ora per una famiglia infinita di funzioni booleane , abbiamo una prova formale che richiede circuiti di dimensioni superlineari, cioè $L = \{f_n\}_{n}$ $L$

dove .

S ⊢ \forall n \geq n_{0}, g (n) \cdot n \leq S (f_{n})

$S \vdash \forall n \geq n_0, \ g(n)\cdot n \leq S(f_n)$

g (n) \in ω (1)

$g(n)\in \omega(1)$

Se prendiamo per essere sufficientemente grande, avremo $n$

g (n) > c \cdot B B (T)

$g(n) > c\cdot BB(T)$

In particolare, ciò dimostrerebbe che la complessità di Kolmogorov dello spettro di è almeno , il che è impossibile. $f_n$ $T$

Questo porta a due domande:

1) Dovrebbe esserci qualcosa di sbagliato nel ragionamento sopra. Principalmente perché renderebbe formalmente non dimostrabili i limiti inferiori del circuito superlineare.

2) Conosci approcci simili per mostrare le barriere per i limiti inferiori, cioè per dimostrare che alcuni tipi di limiti inferiori (circuitali) sono formalmente non dimostrabili?

— Magnus Find
fonte

idee interessanti. in qualche modo correlato alla prova razborov / rudich riguardo alle "prove naturali" che aboliscono le barriere a P = NP (ma probabilmente applicabile anche ad altre separazioni di classi di complessità elencate come esempi nel documento) ... hai letto quel documento? vedi anche barriere P =? NP e barriere / complessità del circuito monotono . sembra che le separazioni delle classi di complessità siano simili nella struttura alle prove di non dimostrabilità.

— dal

puoi approfondire lo "spettro" di f_n? c'è un modo per formulare la domanda senza fare riferimento allo "spettro"?

— vzn,

è probabilmente vero che si può studiare la complessità delle funzioni studiando la più piccola TM [nel senso della tabella / stati di stato] che le calcola e che ciò corrisponderà approssimativamente ai limiti inferiori del circuito. se riesci a dimostrare che è impossibile, piuttosto che molto difficile, trovare quella TM più piccola, potresti avere qualcosa lì. tuttavia è "semplice" trovare la TM più piccola tramite enumerazione canonica di circuiti o TM. se rifletti sul perché questo approccio funzioni, potrebbe essere utile capire perché la domanda non porta a un problema.

— vzn

(f (0, 0, . ., 0), f (0, 0, . ., 1), . ., f (1, 1, . ., 1))

$(f(0,0,..,0),f(0,0,..,1),..,f(1,1,..,1))$

$N$ $f_n$ $T$ $N$ $N>g^{-1}(c \cdot BB(T))$ $BB$

— domotorp
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S

$S$

$A(k)$ $K(A(k)) \geq k$ $k$ $K(A(k)) \geq k$

$BB(T)$

$\alpha(k)$ $k$ $\alpha(k)$ $K(0^{\alpha(k)+1}) > k$

— Yuval Filmus
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Perché questa situazione è problematica? Non hai dato un programma il cui output sarebbe A (k) e la sua lunghezza sarebbe inferiore a k.

— domotorp,

B B (k)

$BB(k)$

k

$k$

È problematico (probabilmente) nello stesso senso della domanda originale.

— Yuval Filmus,

Ancora non capisco. Non esibisci una stringa e una prova che la sua complessità di Kolmogorov è grande. Esibisci che esiste una stringa la cui complessità è grande.

— Sasho Nikolov,

Penso che siano problematici in diversi modi. Mentre lo leggo, indichi una specifica affermazione vera, che non ha una prova. Mentre lo espongo nella mia domanda, sottolineo che comporta una prova di qualcosa che non è dimostrabile.

— Magnus Trova il