Colorazione della complessità dei grafici

Supponiamo che sia un grafico con il numero di colorazione . Considera il seguente gioco tra Alice e Bob. Ad ogni round, Alice sceglie un vertice e Bob risponde con un colore in per questo vertice. Il gioco termina quando viene scoperto un bordo monocromatico. Lascia che sia la lunghezza massima del gioco in condizioni di gioco ottimali per entrambi i giocatori (Alice vuole accorciare il gioco il più possibile, Bob vuole ritardarlo il più possibile). Ad esempio, e . $G$ $d = \chi(G)$ $\{1,\ldots,d-1\}$ $X(G)$ $X(K_n) = n$ $X(C_{2n+1}) = \Theta(\log n)$

Questo gioco è noto?

— Yuval Filmus
fonte

Penso che potresti essere in grado di modellarlo come un gioco Ehrenfeucht – Fraïssé .

— Tyson Williams,

sembrerebbe molto legato agli avidi algoritmi di colorazione dei grafi, giusto? di cui ci sono molti .... in modo simile ai problemi di SAT in cui una delle variabili viene "forzata" dopo un po 'di attraversamento di DPLL ... che credo sia anche chiamata la "spina dorsale" in SAT

— vzn

Perché usi d − 1? Penso che sia più naturale parametrizzare il gioco sia dal grafico G che dal numero k dei colori consentiti e considerare la quantità analoga X (G, k). Naturalmente, se k≥χ (G), allora Bob vince, e quindi in questo caso, X (G, k) dovrebbe essere definito come ∞ o n + 1.

— Tsuyoshi Ito,

@Tsuyoshi: è una scelta arbitraria progettata per massimizzare . Nell'applicazione che ho in mente, non ha senso.

k = d - 1

$k = d-1$

X (G)

$X(G)$

k \geq χ (G)

$k \geq \chi(G)$

— Yuval Filmus,

@Tyson: In effetti, è la complessità dell'albero decisionale del gioco in cui, data una colorazione di , vogliamo trovare un bordo violato.

X (G)

$X(G)$

d - 1

$d-1$

G

$G$

— Yuval Filmus,

Sembra abbastanza simile a

Colorazione di grafici casuali online senza creare sottografi monocromatici (Reto Spöhel, Torsten Mütze e Thomas Rast) Atti del 22 ° simposio annuale ACM-SIAM sugli algoritmi discreti (SODA '11), PR 137, 145-158.

— Adriann
fonte