È possibile utilizzare restrizioni casuali per ottenere un limite inferiore per

Esistono diversi risultati con limite inferiore di dimensioni del circuito ben noti $\mathsf{AC^0}$ basati su restrizioni casuali e Switching Lemma .

Possiamo sviluppare un risultato Lemma di commutazione per dimostrare una dimensione con limite inferiore per $\mathsf{TC^0}$ circuiti (simile alle prove con limite inferiore per $\mathsf{AC^0}$ )?

O c'è qualche ostacolo inerente all'uso di questo approccio per dimostrare limiti inferiori di ? $\mathsf{TC^0}$

I risultati della barriera come Natural Proofs dicono qualcosa sull'uso di Switching Lemma come tecniche per dimostrare i limiti inferiori di ? $\mathsf{TC^0}$

— Jeigh
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Conosci la prova del cambio di lemma per

A C^{0}

$\mathsf{AC^0}$

— Kaveh,

Ho letto il capitolo dei limiti inferiori del circuito del libro di testo di Arora. In primo luogo, trasforma qualsiasi circuito a profondità costante in un circuito senza porte NON con strati AND-OR interlacciati, e in secondo luogo utilizzando l'interruttore Switching Lemma su questi due strati, infine otteniamo un circuito superiore e il secondo livello è lo stesso AND (o OR) porte così possiamo privare il circuito di uno strato, ridimensionando la profondità del circuito.

— Jeigh,

Tuttavia, non è più semplice del caso booleano osservare l'output di un gate quando fissiamo diversi valori di input (nel caso booleano fissiamo su radice quadrata n input). AND gate e OR gate sono la versione estrema delle porte a tre lati e molto facile osservare l'influenza delle restrizioni.

— Jeigh,

L'idea alla base della tecnica delle restrizioni casuali è che un

colpito da una restrizione casuale diventa più semplice (in effetti costante) con probabilità diversa da zero mantenendo abbastanza variabili libere. A differenza dei cancelli

, un singolo

A C^{0}

$\mathsf{AC^0}$

\land

$\land$

\lor

$\lor$

gate colpito da una restrizione casuale calcolerebbe comunque a

\mod p

$\mod p$

gate su input di dimensioni inferiori e non diventerà più semplice.

\mod p

$\mod p$

— Kaveh,

Nota anche che le restrizioni casuali e il Lemma di commutazione sono uno dei primi esempi di prove naturali. In ogni caso, si spera che un esperto di complessità del circuito invierà una risposta più completa. ps: mi sono preso la libertà di riscrivere la domanda, sentiti libero di tornare indietro se non ti piace la mia modifica.

— Kaveh,

Risposte:

È effettivamente possibile utilizzare restrizioni casuali per dimostrare limiti inferiori per i circuiti di soglia.

In particolare nel paper Trade-Depth trade-off per i circuiti di soglia , Impagliazzo, Paturi e Saks usano restrizioni casuali per dimostrare un limite inferiore del superliner (sul numero di fili) per circuiti a soglia di profondità costante che calcolano la funzione di parità.

Per quanto riguarda la dimostrazione di limiti inferiori superpolinomiali per circuiti , allora sì, il concetto di prova naturale è rilevante poiché ci sono costruzioni di generatori di funzioni pseudo-casuali in . $\mathsf{TC}^0$ $\mathsf{TC}^0$

— Kristoffer Arnsfelt Hansen
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Vedi anche il recente articolo di Daniel Kane e Ryan Williams, Super-Linear Gate e Super-Quadratic Wire Lower Bounds for Depth-2 e Depth-3 Threshold Circuits (STOC 2016).

Ryan descrive il documento come segue (la seguente descrizione è tratta dalla sua homepage):

Diamo una funzione esplicita in per la quale ogni maggioranza di circuiti a soglia lineare con profondità 2 (con pesi illimitati) necessita contemporaneamente di circa porte e fili. Mostriamo anche che la funzione di Andreev (calcolabile da un circuito di maggioranza in profondità tre di dimensione ) richiede che circa lo stesso gate e il limite inferiore del filo siano calcolati con circuiti di soglia lineare di profondità due. Uno strumento chiave è il Lemma di Littlewood-Offord, che utilizziamo per analizzare l'effetto di restrizioni casuali sugli ingressi dei circuiti di soglia a bassa profondità. $\mathsf{PP}$ $n^{1.5}$ $n^{2.5}$ $O(n)$

— Yuval Filmus
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