L'aggiunta può essere eseguita in meno della profondità 5?

Usando l'algoritmo carry look ahead possiamo calcolare l'aggiunta usando una famiglia di circuiti profondità di dimensione polinomiale 5 (o 4?) . È possibile ridurre la profondità? Possiamo calcolare l'aggiunta di due numeri binari usando una famiglia di circuiti di dimensioni polinomiali con profondità inferiore a quella ottenuta dall'algoritmo carry look ahead? $AC^0$

Esistono limiti inferiori super polinomiali per le dimensioni delle famiglie di circuiti che calcolano l'aggiunta dove è 2 o 3? $AC^0_d$ $d$

Per profondità intendo profondità di alternanza.

— Anonimo
fonte

Puoi dirci il tuo nome? Chi sei? Da circa un mese le persone creano un nuovo nome utente qui, fanno una domanda e poi cancellano quel nome utente!

— Tayfun paga il

@Geekster, in genere le persone non sono tenute a creare un account o utilizzare i loro nomi reali (tuttavia è incoraggiato a farlo per vari motivi). Se hai una preoccupazione generale riguardo a qualcosa, per favore usa la Meta teorica dell'informatica per sollevarla.

— Kaveh,

Questo potrebbe essere costretto bruta verificando che non depth AC circuito può calcolare la somma bit di due ingressi -bit per qualche fisso ; ci sono solo molte funzioni booleane dei bit di input che possono apparire ad ogni profondità.

4

$4$

^{0}

$^{0}$

(m + 1)

$(m+1)$

m

$m$

m

$m$

— mjqxxxx,

@mjqxxxx: come si impone il vincolo di dimensione polinomiale sui circuiti AC0 durante la forzatura bruta per un m fisso? @ OP: l'attuale profondità del circuito è la migliore 4 o la profondità 5?

— Robin Kothari,

@mjqxxxx: ogni funzione booleana è calcolabile da circuiti di profondità . Supponiamo ora di trovare per il tuo fisso un circuito di taglia . Come giudichi se ci sono circuiti di dimensione per ogni , dove , o se ci sono solo circuiti di dimensione , dove ? Semplicemente non c'è modo di dedurre informazioni asintotiche da un esempio finito.

2

$2$

m

$m$

s

$s$

c n

$cn$

n

$n$

c = s / m

$c=s/m$

2^{ϵ n}

$2^{\epsilon n}$

ϵ = (\log s) / m

$\epsilon=(\log s)/m$

— Emil Jeřábek sostiene Monica il

Risposte:

Secondo il Teorema 3.1 di Alexis Maciel e Denis Therien Threshold Circuits of Small Majority-Depth esiste effettivamente un circuito di profondità 3 per calcolare l'aggiunta di due numeri.

Il limite preciso è dove sono problemi che hanno circuiti depth-2 con entrambi i circuiti in alto e i sono circuiti di profondità uno (vedere il documento per una spiegazione dettagliata della notazione). $\Delta_2 \cdot \mathsf{NC}^0_1$ $\Delta_2 = \Sigma_2 \cap \Pi_2$ $\mathsf{AC}^0$ $\vee,\wedge$ $\mathsf{NC}^0_1$ $\mathsf{NC}^0$

Le principali idee di prova sono:

Innanzitutto, esprimi il circuito Carry-lookahead come $\mathsf{NC}^0\cdot\Delta_2\cdot\mathsf{NC}^0$
Quindi, invoca le proprietà di chiusura di per scrivere questo come $\Delta_2$ $\Delta_2\cdot\mathsf{NC}^0$
Infine, usa il fatto (dimostrato anche nel documento) che $\mathsf{NC}^0 \subset \Delta_1\cdot\mathsf{NC}^0_1$

— Samid
fonte

I circuiti di profondità 2 richiedono dimensioni esponenziali per calcolare l'aggiunta poiché un circuito di profondità 2 deve essere DNF o CNF ed è facile verificare che ci siano esponenzialmente molti minterm e maxterm.

Attenzione : la parte sotto è difettosa . Vedi i commenti sotto la risposta.

Per come lo conto, l'addizione può essere effettuata in profondità 3. Supponiamo che e siano bit i due numeri, dove è l'indice dell'LSB e dell'MSB. $a_i$ $b_i$ $i$ $0$ $n$

Calcoliamo l' bit della somma, in modo standard con carry look ahead: $i$ $s_i$

s_{i} = a_{i} \oplus b_{i} \oplus c_{i}

$s_i = a_i \oplus b_i \oplus c_i$

dove è XOR e è il carry calcolato come: $\oplus$ $c_i$

c_{i} = \underset{j ∣ j < i}{⋁} (g_{j} \land p_{j})

$c_i = \bigvee_{j\mid j < i} (g_j \wedge p_j)$

e mezzi che il esima posizione "generato" il riporto: $g_j$ $j$

g_{j} = (a_{j} \land b_{j})

$g_j = (a_j \wedge b_j)$

e significa che il carry viene propagato da a : $p_j$ $j$ $i$

p_{j} = \underset{k ∣ j < k < i}{⋀} (a_{j} \lor b_{j})

$p_j = \bigwedge_{k\mid j < k < i} (a_j \vee b_j)$

Contando la profondità, è la profondità 2 e è la profondità 3. Mentre sembrerebbe che sia la profondità 4 o 5, in realtà è anche solo la profondità 3 poiché si tratta di un calcolo fanin limitato dei circuiti di profondità 3, quindi si può spingere il primi due livelli in basso usando le formule de-Morgan, mentre si soffia la dimensione del circuito di una quantità polinomiale. $p_j$ $c_i$ $s_i$

— Noam
fonte

Non capisco bene come il calcolo limitato dei fan dei circuiti di profondità 3 sia automaticamente profondità 3. Se, per esempio, scrivi come , puoi fare in modo che il primo abbia disgiunto un circuito di profondità 3 con in cima, e il secondo abbia disgiunto un circuito di profondità 3 con in cima. Non vedo come spingere verso il basso la disgiunzione superiore senza aumentare la profondità di uno per tenere conto della mancata corrispondenza tra i tipi connettivi nelle due parti. Questo può essere risolto osservando che può anche essere calcolato in modo diverso da un circuito di profondità 3 ...

s_{i}

$s_i$

(c_{i} \land \neg (a_{i} \oplus b_{i})) \lor (\neg c_{i} \land (a_{i} \oplus b_{i}))

$(c_i\land\neg(a_i\oplus b_i))\lor(\neg c_i\land(a_i\oplus b_i))$

⋁

$\bigvee$

⋀

$\bigwedge$

c_{i}

$c_i$

— Emil Jeřábek supporta Monica il

... con in cima. D'altra parte, tutti i circuiti di profondità 3 hanno limitato il fan-in inferiore, quindi li definirei profondità 2 1/2.

⋀

$\bigwedge$

— Emil Jeřábek sostiene Monica il

Questo è ovvio. Quello che sto sottolineando è che, come scritto, non hai qui un OR di due circuiti di profondità con AND in alto. Hai un OR di due circuiti di profondità , uno dei quali ha AND nella parte superiore e l'altro ha OR nella parte superiore. Dubito che tali circuiti possano essere convertiti in profondità in generale. Pensa ai fan-in polinomiali AND e OR come quantificatori. Puoi esprimere come prenex formula con blocchi quantificatori, ma hai bisogno di blocchi per esprimere ...

d

$d$

d

$d$

d

$d$

(\forall x_{1} \exists x_{2} \dots Q x_{d} ϕ (x_{1}, \dots, x_{d})) \lor (\forall x_{1} \exists x_{2} \dots Q x_{d} ψ (x_{1}, \dots, x_{d}))

$(\forall x_1\exists x_2\dots Qx_d\phi(x_1,\dots,x_d))\lor(\forall x_1\exists x_2\dots Qx_d\psi(x_1,\dots,x_d))$

d

$d$

d + 1

$d+1$

— Emil Jeřábek supporta Monica

... la formula .

(\forall x_{1} \exists x_{2} \dots Q x_{d} ϕ (x_{1}, \dots, x_{d})) \lor (\exists x_{1} \forall x_{2} \dots \bar{Q} x_{d} ϕ (x_{1}, \dots, x_{d}))

$(\forall x_1\exists x_2\dots Qx_d\phi(x_1,\dots,x_d))\lor(\exists x_1\forall x_2\dots \overline Qx_d\phi(x_1,\dots,x_d))$

— Emil Jeřábek sostiene Monica il

f_{n} (x_{1}, \dots, x_{n})

$f_n(x_1,\dots,x_n)$

A C_{d}^{0}

$AC^0_d$

d

$d$

x_{0} \oplus f_{n}

$x_0\oplus f_n$

A C_{d}^{0}

$AC^0_d$

C_{n} (x_{0}, \dots, x_{n})

$C_n(x_0,\dots,x_n)$

C_{n}

$C_n$

x_{0} = 1

$x_0=1$

A C_{d}^{0}

$AC^0_d$

\neg f_{n}

$\neg f_n$

A C_{d}^{0}

$AC^0_d$

f_{n}

$f_n$