Panorama dei sistemi di prova interattivi

La mia prima domanda è se una caratterizzazione del sistema di prove interattive è nota per tutte le classiche classi di complessità. Chiamerei P, NP, PSPACE, EXP, NEXP, EXPSPACE, funzioni ricorsive e ricorsivamente enumerabili classiche (tra le altre). In particolare, una caratterizzazione del sistema di prove interattive è nota per le funzioni ricorsive e ricorsivamente enumerabili?

So solo che IP = PSPACE e che MIP = NEXPTIME. Con "conoscere" intendo le definizioni degli oggetti su entrambi i lati dell'uguaglianza e possibilmente capisco l'uguaglianza.

La mia seconda domanda è se esiste un riepilogo grafico dei diversi tipi di sistemi di prova interattivi e delle classi di complessità che caratterizzano.

In particolare, vorrei un riferimento a una figura simile all'immagine di Immerman delle caratterizzazioni della complessità della descrizione .

cc.complexity-theory big-picture interactive-proofs

— Vijay D
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Cosa sai già?

— Tsuyoshi Ito,

Esiste più di 1 parametro variabile in un sistema di prova interattivo: qual è il potere del verificatore, qual è il potere del prover, che tipo (e quantità) di comunicazione sono permessi, hanno una casualità precondivisa, fa il verificatore deve leggere l'intero messaggio dal prover o ha un accesso casuale al messaggio, ecc.

— Robin Kothari,

Dopo aver pensato un po 'di più, non credo di poter rispondere adeguatamente alla tua domanda perché il sistema di prove interattive è un argomento ampio nella teoria della complessità computazionale. Potresti voler controllare il capitolo 9 della complessità computazionale: una prospettiva concettuale di Goldreich o i capitoli 8 e 11 della complessità computazionale: un approccio moderno di Arora e Barak.

— Tsuyoshi Ito,

@VijayD: Sì, fa parte del problema. Nelle caratterizzazioni della complessità descrittiva, c'è una variabile (la logica), quindi man mano che sali da FO a SO, vai da AC0 a PH, ecc. Nei sistemi interattivi di prova, ci sono così tante variabili che non è chiaro che il paesaggio può essere disegnato.

— Robin Kothari,

Non sono sicuro che questa domanda sia abbastanza ben specificata. C'è una risposta banale: ogni classe può essere "caratterizzata" come una "prova interattiva" in cui il prover fondamentalmente non fa molto e il verificatore è abbastanza potente. La cosa interessante dei risultati IP = PSPACE e MIP = NEXP (e PCP [O (\ log n), O (1)] = NP) è che il verificatore è sorprendentemente debole.

— Sasho Nikolov,

Risposte:

Puoi trovare molte caratterizzazioni (in particolare sui verificatori limitati dallo spazio) nel famoso sondaggio di Condon: La complessità dei sistemi di prova interattivi limitati dallo spazio .

Ecco un elenco di alcuni di essi:

, dove 2pfa (il verificatore) è un automa finito probabilistico a due vie. $\mathsf{RE} = \mathsf{weak\mbox{-}IP(2pfa)}$
, dove pfa (il verificatore) è un automa finito probabilistico unidirezionale che interagisce con due prover. $\mathsf{R} = \mathsf{2IP(pfa)}$
. $\mathsf{NEXP} = \mathsf{2IP(pfa,poly\mbox{-}time)}$
. $\mathsf{PSPACE} = \mathsf{IP(log\mbox{-}space,poly\mbox{-}time)}$
. $\mathsf{NP} = \mathsf{oneway\mbox{-}IP(log\mbox{-}space,poly\mbox{-}time)} = \mathsf{oneway\mbox{-}IP(log\mbox{-}space,log\mbox{-}random\mbox{-}bits)}$
, , ecc. $\mathsf{P} = \mathsf{AM(log\mbox{-}space)}$ $\mathsf{EXP} = \mathsf{AM(poly\mbox{-}space)}$

Alcuni risultati recenti (principalmente quantistici):

diYakaryilmaz, dove 2qcfa (il verificatore) è un automa finito a due vie con un registro quantico di dimensioni costanti. $\mathsf{RE} = \mathsf{weak\mbox{-}AM(2qcfa)}$
diYakaryilmaz, dove 2pca (il primo verificatore) è un automa finito probabilistico a due vie con un contatore e 2qca (l'ultimo verificatore) è un due a due vie automa finito quantico con un contatore. $\mathsf{R} = \mathsf{IP(2pca)} = \mathsf{AM(2qca)}$
Ito, Kobayashi e Watrous hanno dato una nuova caratterizzazione di basata su sistemi quantistici di prova interattiva con un doppio divario esponenzialmente piccolo nella probabilità di accettazione tra i casi di completezza e solidità. $\mathsf{EXP}$
diJain, Ji, Upadhyay e Watrous, dove QIP è la generalizzazione quantistica dei sistemi IP. $\mathsf{PSPACE} = \mathsf{QIP(poly\mbox{-}time)}$
è la classe di linguaggi per cui l'appartenenza ha una prova quantistica di dimensioni logaritmiche con perfetta completezza e solidità, che è polinomialmente vicina a 1 in un contesto in cui al verificatore viene fornita una prova con due parti non distrutte (Blier e Tapp). $\mathsf{NP}$
$\mathsf{NL} = \mathsf{weak\mbox{-}oneway\mbox{-}IP(2pfa,constant\mbox{-}random\mbox{-}bits)}$

— Abuzer Yakaryilmaz
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Grazie! Questo è esattamente quello che volevo. Ero a corto di come migliorare la mia domanda, che era troppo vaga per gli esperti, e sono contento che tu abbia capito il mio intento.

— Vijay D,

Bene, allora, perché non lo contrassegni come la migliore risposta?

— Cem Say

Perché chissà cosa porterà domani? Vorrei una settimana o 10 giorni dopo la pubblicazione per decidere.

— Vijay D,

NP è spesso caratterizzato come un sistema di prova in cui il prover invia una prova di lunghezza polinomiale a un verificatore di tempo polinomiale deterministico e dopo di che non c'è interazione. La classe di linguaggi ricorsivamente enumerabili può essere caratterizzata in modo simile sostituendo "polinomio" con "finito".

Inoltre, poiché la classe di linguaggi ricorsivi R è l'intersezione di RE e coRE, puoi caratterizzare R come un sistema di prova in cui un onnipotente prover può convincere un verificatore di tempo finito sia nella validità delle affermazioni corrette sia nell'invalidità di affermazioni false.

La classe EXP ha una caratterizzazione in termini di un sistema di prova con "dimostratori concorrenti" - vale a dire, un sistema di prova in cui esiste un prover che cerca di convincere il verificatore che il reclamo è vero e un refuter che cerca di convincere il verificatore che l'affermazione è falsa. Vedi l'articolo "Rendere i giochi brevi" di Feige e Kilian per maggiori dettagli.

— O Meir
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